Frage von Eiskorn93, 30

Wie kann ich aus dieser komplexen Zahl den Realteil, Imaginärteil Argument und Betrag ablesen?

(-1+iWurzel(3))^15 / (1-i)^20 + (-1-iWurzel(3))^15 / (1+i)^20.

Kann man das nicht irgendwie vereinfachen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 19

Die beiden Summanden sind komplex Konjugierte voneinander, denn dies gilt für die Zähler und die Nenner gleichermaßen. Daher wird die Summe rein reell sein.

Auf jeden Fall haben beide Summanden denselben Betrag. Der jedes Nenners ist

|(1 ± i)²⁰| = |1 ± i|²⁰ = (√{(1 + i)(1 – i)})²⁰ = (√{2})²⁰ = 2¹⁰ = 1024,

der jedes Zählers

|(–1 ± √{3}·i|¹⁵ = (√{(–1)² – 3·i²})¹⁵ = 4¹⁵ = 2³⁰,

und so ergibt sich 2³⁰/2¹⁰ = 2²⁰ als Betrag für jeden Summanden.

Zu den Argumenten muss ich mir noch weitere Gedanken machen.

Kommentar von Thor1889 ,

Wie hast du das Wurzelzeichen und die Exponenten eingefügt ?

Kommentar von SlowPhil ,

Beim Betrag muss man Wurzel ziehen, wenn man ihn durch die Zahl z und ihr komplex Konjugiertes z̄ ausdrücken will, nämlich

|z|² = z·z̄    ⇔    |z| = √{z·z̄},

und es ist

|zⁿ| = |z|ⁿ = |z|·exp(i·n·Arg(z)) = |z|·exp(niφ).

Kommentar von SlowPhil ,

Zu den Argumenten muss ich mir noch weitere Gedanken machen.

Und das tue ich jetzt:

Im Zähler tritt die Zahl

z₁ = (–1 + √3·i) = z₁·exp(i·φ₁) = 2·exp(i·2π/3),

womit der φ₁ 120° entspricht.

Das kann ich daraus schließen, dass eine Komponente betragsmäßig halb so groß ist wie der Betrag, und sin(π/6) = ½ ist. Der Realteil ist zudem negativ, was auf einen Phasenwinkel über π/2 schließen lässt.

Im Nenner tritt die Zahl

z₂ = (1 – i) = z₂·exp(i·φ₂) = √{2}·exp(–i·π/4)

auf, womit φ₂ 45° entspricht.

Beide Phasenwinkel sind ganzzahlige Teile des Vollwinkels, sodass beim Potenzieren nicht irgendetwas "Wildes" herauskommt, sondern

15φ₁ mod 2π = 10π mod 2π = 0,

und

20φ₂ mod 2π = 5π mod 2π = π.

Es ist also z₁¹⁵ ∈ ℝ₊ und z₂²⁰ ∈ ℝ₋, wenn ich mich nicht verhauen habe.

Kommentar von SlowPhil ,

Die Summanden sind also reell, identisch und negativ und müssten zusammen –2²¹ ergeben.

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