Wie kann aus folgenden Parabeln die Parameter a, b und c der Funktionsgleichung y=ax^2+bx+c ermitteln?

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3 Antworten

Mit einem kleinen Umweg schaffst du's. 
Du versuchst, die Scheitelpunktform zu konstruieren.
y = a(x - d)² + e

Der Scheitelpunkt S hat dabei die Koordinaten (+d|+e). Nimm also die ganz rechte Parabel mit S(+5|-4).
Das - vor d in der Formel zeigt an, dass du den x-Wert immer "umdrehen" musst und den y-Wert übernehmen. Daher ergibt sich als Zwischenlösung:

y = a ( x - 5)² - 4

Das ist schon die halbe Miete. Jetzt musst du noch das a herauskriegen. Das könnte man tun, indem man irgendeinen Punkt einsetzt. Es geht aber auch anders. Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, steht vor dem a ein Minus, sonst bleibt es beim Plus.

Diese Parabel ist nach oben geöffnet, also kommt kein anderes Vorzeichen nach vorn. Es bleibt bei +, was man nachher gar nicht schreibt.

Jetzt gucken wir noch, wie hoch (oder tief) die Parabel bei dem Punkt gestiegen (gefallen) ist, der 1 Einheit vom Scheitelpunkt entfernt ist. Bei einem Kästchen nach rechts von S aus ist der y-Wert um 2 größer geworden, also ist a = +2 .

Setze ich jetzt alles zusammen, kommt heraus:

y = 2(x - 5)² - 4     und das kann ich ausrechnen: erst Binomische Regel

y = 2 (x² - 10x + 25) - 4      | ausklammern
y = 2x² - 20x + 50 - 4         | zusammenfassen

y = 2x² - 20x + 46

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Kommentar von Volens
02.08.2016, 16:51

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Kommentar von Volens
02.08.2016, 16:57

Die blaue Normalparabel ist so normal nicht, wie sie tut.
Ihr Scheitelpunkt ist S(-3|0)

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Da die x- und y-Achsenbeschriftung nicht gegeben ist, lässt sich diese Aufgabe eigentlich nicht lösen (ein Hoch auf die Aufgabensteller ^^).

Nehmen wir an, die Einheit ist 1.

Sehen wir uns die grüne Parabel an.

Ihr Scheitelpunkt liegt bei (-2 | 2), somit können wir eine unfertige Scheitelpunktform aufstellen:

f(x) = a(x + 2)² + 2

Suche jetzt einen Punkt der Parabel, beispielsweise die erste Nullstelle bei (-4 | 0).

Diesen setzen wir nun in die Parabelgleichung ein:

f(x) = a(x + 2)² + 2
0 = a(-4 + 2)² + 2
0 = a*2² + 2
0 = 4a + 2                 |-2
-2 = 4a                      |:4
a = -2/4 = -0,5

Also: f(x) = -0,5(x + 2)² + 2

Nun die lila Parabel:

Ihr Scheitelpunkt liegt bei (0 | 3), ein weiterer Punkt auf ihr ist (-2 | -1).

Scheitelpunktform aufstellen:
f(x) = a(x - 0)² + 3 = ax² + 3

Punkt einsetzen:
-1 = a*(-2)² + 3
-1 = 4a + 3         |-3
-4 = 4a               |:4
a = -1

Also: f(x) = -x² + 3

Die restlichen Parabeln können nach dem gleichen Schema bearbeitet werden. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

PS: Musst du die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c angeben, so musst du einfach die Klammer der Scheitelpunktform gemäß der binomischen Formel ausmultiplizieren. ;)

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Erinnerungen :

Parabel allgemeine Form y=f(x)= a2 *x^2+a1*x+ao

Scheitelkoordinaten bei x= - (a1)/(2*a2) und y= - (a1)^2/(4*a2) + ao

Scheitelpunktform ist y=f(x)= a2 * (x +b)^2 +c

b und c ergeben die Scheitelkoordinaten mit b= - x und c=y

1. Schritt : Aus der Zeichnung die Scheitelkoordinaten ablesen.

2. Schritt , Mit eine gegebenen Punkt a2 berechnen.

3. Schritt : mit den "binomische Formeln" die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umwandeln.

Parabel "blau" Scheitelpunkt Ps(-3/0) ergibt b=-x= - (-3)=3 und c=y=0

Scheitelpunkt somit y=f(x)=a2 *(x+3)^2 + o=a2 *(x+3)^2

mit P1(-5/4) ergibt sich a2 mit 4=a2 *(-5+3)^2=a2 * 4 ergibt a2=4/4=1

Scheitelpunktform ist somit y=f(x)=1 *(x +3)^2

binomische Formel : (x+b)^2=x^2 +2*b*x +b^2 eingesetzt

y=f(x)= 1 *( x2 + 2 *3 *x +9)= x^2 +6*x +b

Die anderen Aufgaben gehen genau so .

Parabel grün Ps(-2/2) ergibt b=-x=- (-2)=2 und y=c=2

Scheitelgleichung somit y=f(x)= a2 * (x + 2)^2 + 2

mit P3(0/0) eingesetzt y=f(x)=0= a2 *(0+2)^2 +2 ergibt a2=-2/4=-0,5

Formel somit y=f(x)= - 0,5 * (x+2)^2 +2 

binomische Formel : (x+b^2 = x^2 +2*b*x+b^2

ergibt y=f(x)= - 0,5 *( x^2 +4 *x +4) + 2= - 0,5 *x^2 - 2*x - 2 +2=-0,5*x^2-2x

lila geht genau so 

HINWEIS : Bei rot sind 4 Punkte gegeben. Es wir aber nur der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt gegeben sein: Die anderen 3 punkte müssen dann auf der Parabel liege,oder es liegt ein Fehler vor

Ps(4/-4) ergibt b= - x= - (4)= - 4 und y=c= - 4

Formel y=f(x)= a2 *( x - 4)^2 -4  mit P2(3/-2)

-2=a2 * (3-4)^2 - 4=-2+4)/1= 2 ergibt y=f(x)=2 *(x - 4)^2 - 4

binomische Formel (x-b)^2=x^2-2*b *x+b^2

y=f(x)= 2 *(x^2 - 2*4 *x + 16) - 4=2*x^2-16 *x + 32 - 4=2*x^2 - 16 *x +28

HINWEIS : Wenn 4 Punkte gegeben sind ,benutzt man die "kubische Funktion y=f(x)= a3 *x^3+a2*x^2+a1*x+ao

Dies führt dann zu einen "linearen Gleichungssystem mit 4 Unbekannte und 4 Gleichungen 

  1.   y1=a3 *x1^3 +a2 *x1^2+a1 *x1 + 1*ao aus Punkt P1

   2. y2= a3 *x2^3+a2 *x2^2 +a1*x2+1*ao aus P2

   3.  y3= a3 *x3^3 +a2 *x3^2 +a1 *x3 + 1*ao aus P3

    4.   y4=a3*x4^3 +a2 *x4^2 +a1*x4 + 1*ao aus P4

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist dann in "Handarbeit " etwas aufwendiger !

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