Frage von hollowdew, 48

Wie ist die Gleichung der Geraden an, die die Tangente an der Normalparabel ist und durch den Punkt P(3|1) verläuft?

Wenn man als Normalparabel f(x)=x² nimmt und die x-koordinate des punktes P(3|1) einfügt, so erhält man nicht 1 sondern 3² = 9. Hat die Aufgabe einen Fehler oder gehe ich falsch an die Sache ran? Wenn ich dennoch weiter rechne: f(x)=x² also ist m=0 y=mx+b 1=03+b b=1 also ist die Gleichung t(x)=1? Aber in der Lösung steht: g1(x) = 11,658x - 33,968; g2(x)=0,344x-0,032 Hat jemand vielleicht eine Ahnung wie das zustande kommt ?

Vielen Dank im vorraus ;) Gruß Niko

Antwort
von ProfFrink, 48

Hallo Niko,

ja, Du geht's falsch daran. Der Punkt (3|1) gibt ja nur an, dass es irgendwo da draussen eine Gerade gibt, die irgendwo anders, also nicht unbedingt im Punkt (3|1) die Parabel tangieren muss.

Also: Du stellst Dir die Normalparabel vor und zeichnest rechts ab, quasi im freien Raum Deinen einsamen Punkt (3|1). Oh, wie verloren er doch wirkt. Hat aber gar nichts mit der Parabel zu tun. Dann legst Du ein Lineal an den Punkt (3|1) und drehst dieses Lineal so lange um den Punkt (3|1) bis das Lineal Deine Normalparabel irgendwo berührt. Der Punkt (3|1) ist der Drehpunkt der Geraden; nichts anderes.

Antwort
von Zamon, 29

Es geht um eine Gerade. Dass diese die Form y=mx+b hat, hast du schon richtig erkannt. (Okay, es geht um zwei Graden, aber dazu später mehr).

Diese Graden sollen einerseits durch den Punkt (3,1) verlaufen, und andererseits eine Tangente der Normalparabel sein. Die Normalparabel soll und kann nicht durch den Punkt (3,1) gehen.

Wie löst man das?

Es gibt also zwei Bedingungen: durch (3,1) gehen, und tangente von y=x² sein. 

Wenn man sich das Aufzeichnet, kann man sich das besser vorstellen. Bild hänge ich evtl. später an. 

Einerseits muss y=mx+b für P(3,1) stimmen, also 1=m*3+b  -> b=-3m+1, oder m=(1-b)/3 andererseits muss sie die Normalparable tangieren.

Die Tangenten einer Normalparabel sind jeweils die Steigung der Parabel durch die jeweiligen Punkte. Steigungen bekommt man anhand der Ableitung.

Die Ableitung der Normalparabel ist y'=2x. Folglich ist die Steigung der Tangente an den Punkten (a,a²) m=2a und der Wert von b muss so gewählt werden, dass die Steigung (2a) soweit ausgeglichen wird, dass sie doch (von (x=0) ausgehend) zum Punkt (a,a²) führt. Folglich ist b=y(a)-y'(a)*a = a²-(2a)*a =-a² und damit die Geradengleichungen der Tangenten jeweils y=(2a)x-a²

Jetzt haben wir zwei Gradenscharen (eine Kurvenschar sind mehrere Kurven, die bestimmten Bedinungen entsprechen, also alle in gewisser weise ähnlich sind.) In unserem Fall ist es eine Gradenschar, von der Form y=2ax-a², folglich sind m(=2a) und b(=a²) nicht unabhängig voneinander (hier kann man auch das a loswerden: m=2a  --> a=m/2  ---> b= (m/2)² ) und eine Gradenschar von der Form y=mx+(3m-1). 

Alle Graden, die beiden Bedingu entsprechen (Also die sowohl von der Form y=mx+(-3m+1) als auch von der Form y=mx+(m/2)² sind) sind die gesuchte Lösung.   Folglich: -3m+1 = (m/2)²  --> m²+12m-4 = 0 

pq oder Mitternachtsformel sollte dich nun zu m1 und m2 bringen.

Dann kannst du dir (mit einer beliebigen der oben genannten Formeln) b1 und b2 ausrechnen und hast deine graden g1=m1*x+b1 und g2 = m2*x+b2

Kommentar von hollowdew ,

Vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort ;) ;)

Das hat mir sehr weitergeholfen ^^

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 26

genauer Aufgabentext?

Kommentar von Ellejolka ,

1. muss der Punkt nicht auf der Parabel liegen

2. kann die Normalparabel verschoben sein; y=x²+bx+c

Kommentar von hollowdew ,

Das hier ist der ganze Aufgabentext der hier im Mathebuch steht:

Wie ist die Gleichung der Geraden an, die die Tangente an der Normalparabel ist und durch den Punkt P(3|1) verläuft?

Aber nichts für ungut^^ es ist ja nun gelöst

MfG

hollowdew

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