Frage von Knusprig89, 59

Wie ist die 1 Ableitung von 1/x hoch 1/x?

Das die Ableitung von 1/x x^-2 ist weiß ich, aber wär 1/x ^ 1/x abgelitten dann x^-2 ^ x^-2 ? Das hört sich irgendwie zu einfach an! Wäre das nach der Kettenregel also innere Ableitung mal äußere Ableitung dann richtig ? Und wie wäre das Ergebnis wenn ich keinen negativen Exponent haben darf ? Vielen Dank schonmal :)

Antwort
von Ahzmandius, 59

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x^%28-1%29%29^%28x^%28-1%29%29

Nicht nur den Link ancklicken alles in die Adresszeile kopieren.



Kommentar von Knusprig89 ,

Danke schonmal! 

Hättest du dafür auch noch eine Erklärung? Wirklich folgen kann ich dem nämlich leider nicht 

Kommentar von Ahzmandius ,

Ich zeige es dir für x^x, der Ansatz ist gleich:

f(x) = x^x = e^ln(x^x) = e^(x*ln(x))

Kettenregel:

u(v(x)) -> du(v(x))/dx = u'(v(x))*v'(x) (Äußere mal die Innere Ableitung)

u(v(x)) = e^(x*ln(x))

Substitution:

z := x*ln(x)

u(z) = e^(z) -> u'(z) = e^(z) -> u'(x) = e^(x*ln(x))

v(x) = x*ln(x)

Produktregel:

v'(x) = ln(x)+x*1/x ! g(x) = ln(x) -> g'(x) = 1/x !

-> f'(x) = u'(v(x))*v'(x) = e^(x*ln(x))*(ln(x)+1), da e^(x*ln(x))=x^x

-> f'(x) = x^x(ln(x)+1)


Für (1/x)^(1/x) ist der Ansatz genauso!

Das einzige, was du beachten musst, ist, dass ln(1/x) auch eine Verkettung zweier Funktionen ist ln(z) und 1/x!


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