Frage von CrazyD800, 33

Wie ist das kartesische Produkt als Definitionsmenge/Wertemenge gemeint?

Hallo zusammen. Ich weiß bereits, dass das kartesische Produkt quasi innerhalb eines Koordinatensystems zB IxI mit I={x Element IR|0<x<1} für eine Fläche steht, die sich jeweils im Intervall I=[0,1] befindet. Wie aber habe ich mir es vorzustellen, wenn die Funktion für RxR-->R definiert ist? Wie habe ich mir den Definitionsbereich vorzustellen?
Danke im Voraus :)

Antwort
von PeterKremsner, 21

Der Definitionsbereich ist ein zweidimensionales Koordinatensystem.

Du hast einfach eine Fläche und alle Punkte dieser Fläche sind ein mögliches Argument für welches die Funktion definiert ist.

Kommentar von CrazyD800 ,

Kann man sich die Funktion (x,y)-->2x-y überhaupt bildlich vorstellen?

Kommentar von PeterKremsner ,

Ja das wäre ein 3 dimensionaler Plot.

http://me-lrt.de/img/matlab-25-himmelblau-funktion-3d-plot.png

das hier zB.

Die Definitionsmenge ist die untere Ebene.

Das Farbliche Gebilde darin ist der Graph der Funktion.

Da siehts du auch das RxR -> R.

deine "Eingabe" ist die x,y Ebene deines Koordinatensystems, die eine Ausgabe ist der Skalar welcher in dem Fall in der Richung z aufgetragen ist.

Kommentar von CrazyD800 ,

Ach so! Also bewege ich mich in meiner Vorstellung in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, wenn das kartesische Produkt in der Definitionsmenge ist, richtig? Und wie ist er bei R^2-->R^2?

Kommentar von PeterKremsner ,

Das kannst du dir nicht mehr direkt so Vorstellen.

Im Prinzip nimmt deine Funktion jeden Punkt aus einer Eingangsebene und bildet ihn ebenfalls auf einer Ebene ab.

Du kannst dir das in etwa so vorstellen:

Du hast eine Kugel auf einer Tischfläche, du nimmst die Kugel und legst sie auf einen anderen Tisch.

In dem Fall bist du die Funktion.

Die Kugel hat auf Tisch 1 die Koordinaten (x,y) und du legst sie auf Tisch 2 an die Koordinaten (x1,y1).

Weil die Kugel immer nur auf dem Tisch liegen kann und nie daneben ist dein ganzer Tisch 1 die Definitionsmenge und dein ganzer Tisch 2 die Wertemenge.

Kommentar von CrazyD800 ,

okay, eine letzte Frage noch: Woher weiß ich dann, ob eine Abbildung R^2-->R bzw. R^2-->R^2 injektiv/surjektiv. ist? Bei einem zweidimensionalen Koordinatensystem musst ich z.B. bei der Injektivität nur schauen, dass es für den selben y-Wert nicht zwei unterschiedliche x-Werte gab. Muss ich hier das gleiche mit z machen, also wenn ich die z-Achse einführe schauen, dass es für den selben z-Wert nicht zwei Koordinaten (x,y) gibt?

Kommentar von PeterKremsner ,

Ja, die Definition der Injektivität und der Surjektivität ändern sich nicht.

Kommentar von CrazyD800 ,

Solange man es sich ja bildlich vorstelen kann, ist es ja nicht schwer zu sagen, ob eine Abbildung injektiv oder surjektiv ist. Nur wird es bei RxR-->RxR schwieriger. Wie kann ich zum Beispiel bei (x,y)-->(-y,x) wissen, ob sie in-/surjektiv ist?

Kommentar von PeterKremsner ,

einfach nachrechnen, so wie man Surjektivität und Injektivität in der Mathematik eben beweist, einfaches Ablesen aus einem Graph ist kein Beweis.

Kommentar von CrazyD800 ,

Ja bei einer normalen Funktion kann ich das auch, aber wie soll das bitte bei (x,y)-->(-y,x) gehen?

Kommentar von PeterKremsner ,

Genau gleich du musst für die Injektivität prüfen:

f(x1,y1) = f(x2,y2) => x1 = x2 und y1 = y2

Bei der Surjektivität ist es etwas schwieriger und hängt im wesentlichen von der Funktion ab, die Vorgehensweise des Beweises ist aber gleich.

wenn du eine Funktion: RxR -> RxR hast zB:

f(x,y) = 2x*ex + 3y *ey (ex und ey sind die Raumvektoren in die jeweilige Richtung.

2x1*ex + 3y1*ey = 2x2*ex + 3y2*ey

Das kannst du jetzt in zwei Gleichungen aufspalten:

2x1 = 2x2

3y1 = 3y2

wie oben sieht man hier, dass die Funktion Injektiv sein muss.

Für RxR -> R ist es etwas schwieriger:

f(x,y) = x+y

x1+y1 = x2+y2.

Hier sieht man dass die Funktion nicht injektiv ist. Denn ich kann die Summe x1+y1 aus mehreren Paaren von x2+y2 bilden als Beispiel:

5+5 = 10

Ich kann aber auch schreiben:

4+6 = 10 oder 3+7 = 10 etc.

http://www.mathelounge.de/12924/injektivitat-und-surjektivitat-von-1-f-r-2-r-usw...

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