Frage von ThenextMeruem, 37

Wie hier Polynomdivison anwenden?

Will eine Partialbruchzerlegung machen, aber der Term ist leider nicht echt gebrochen Rational. (x²-x-1)/(x²-2x+1) Mit was soll ich jetzt das obere Polynom teilen? Mit x²-2x+1? Das wäre ja die 2. Binomische Formel also (x-1)², aber wie teile ich es jetzt am besten?

Antwort
von PeterKremsner, 21

Du kannst oben das selbe mit Quadratischer ergänzung machen:

x²-x-1 = (x-1)²+x-2

Wie du schon festgestellt hast hast du unten bereits die Quadratische Form (x-1)² stehen, wenn du das jetzt Dividierst bekommst du:

1+(x-2)/(x-1)²

Kommentar von ThenextMeruem ,

Oh gott, Quadratische Ergänzung. Ist ja ewig her seitdem ich das, dass letzte mal gemacht habe. Ich habe jetzt einfach (x²-x-1):(x²-2x+1) gerechnet und ebenfalls 1 + (x-2)/(x²-2x+1) rausbekommen

Kommentar von PeterKremsner ,

Ja es geht auf beide Arten und am besten verwendest du die Art welche für dich am einfachsten ist.

Trotzdem sollte man die Quadratische Ergänzung nicht ganz vernachlässigen, weil man sie eben auch Produktiv nutzen kann.

Antwort
von gilgamesch4711, 4

  Mir war klar, dass die schiere Länge dieses Puffers ausreicht, dass er SCHON wieder abstürzt. Was ist das für eine Abfrage mit der Textlänge; wer hat diesen Editor verbrochen?

  Dieser Teil 3 wendet sich einer Frage zu, von der du wahrscheinlich noch nie gehört hast. Das modernste Verfahren, die Koeffizienten der TZ zu bestimmen, hört in dem Konkurrenzportal ===> Matelounge auf den
Namen Abdecker-oder Zuhälterverfahren. Was du jetzt benötigst: Dir in einem Steilkurs Kenntnisse anzueignen in ===> Residuen, dem wohl kompliziertesten Teilgebiet der ( komplexen ) ===>  Funktionenteorie ( FT )

  
Dir dürfte ja nicht unbekannt sein, dass wenn man ein elektrostatisches Feld längs einem geschlossenen Kreis integriert, dass dann Null heraus kommt, weil das Potenzial die Eigenschaft hat

     U ( end ) = U ( start )    ( 3.1 )

  
Etwas ganz entsprechendes behauptet der ===> Cauchysche Integralsatz ( CIS ) für ===> holomorphe ( d.h. ( komplex ) differenzierbare ) Funktionen.

    Und was passiert in einem Magnetfeld? Angenommen
du piekst n Strom durchflossene Leiter durch ein Blatt Papier; das
Integral längs einem Kreis ergibt dann die Summe aller Ströme im
Innengebiet des Kreises ===> Robert-Wichard Pohl ; "
Elektrizitätslehre "

   Es gibt also Integrale, die zwischen Innen und Außen unterscheiden; der ===> Residuensatz der FT macht
auch hier wieder die analoge Aussage.

   Als Residuen bezeichnet man Integrale, wo im Innengebiet des Kreises Polstellen liegen; mit einer Gleichung wie ( 2.1ab ) darfst du ja alles machen, so lange du es auf beiden Seiten machst - auch integrieren um einen Kreis, in dessen Innengebiet x0 = 1 liegt.

    Was wir jetzt brauchen, ist eine Beziehung für den genauen Wert dieser Residuen; ich verweise dich auf
die ===> Cauchysche Integralformel ( CIF ) ; auch ihren Beweis
findest du in der Literatur ( Mit Fragen kannst du dich wenden an deinen Lehrer, Assistenten bzw. mich; ist okay. )

    Im Wesentlichen besagt diese CIF in Worten

  " Die Residuen sind gleich dem Funktionswert bzw. höheren Ableitungen des ===> Integralkerns an der Polstelle. "

  
Üben wir das mal für ( 2.1b ) Der A-Term kommt mit einer einfachen Polstelle; wir müssen also den Funktionswert der ( konstanten ) Funktion A bilden - und das ist natürlich A .

   Der B-Term hat einen Doppelpol; hier ist nach CIF die erste Ableitung zu bilden. Und die erste Ableitung der ( konstanten ) Funktion B ist natürlich Null.
Koeffizient A überlebt; wir haben die beiden Unbekannten separiert.

  Für den Integralkern verwende ich den Buchstaben G ; in ( 2.1a ) hast du den Integralkern

      G  (  x  ;  1  )  =  x  -  2      (  3.2a  )

   Pfiffige User bei Matelounge haben sich folgende Merkregel ausgedacht.

  
" Integralkern ist alles, was übrig bleibt, wenn du die Singularität
mit der Hand ABDECKST ( ABDECKERverfahren ) oder ZUHÄLTST ( ZUHÄLTERverfahren. ) "

   Die Zahl hinter dem Semikolon bedeutet nur die Polstelle; in den meisten Anwendungen gibt es ja mehrere. Dies
ist eher eine Ausnahme. Wieder liegt ein Doppelpol vor; zu bilden ist die erste Ableitung:

  G  '  (  x  ;  1  )  =  1       (  3.2b  )

   A  =  G  '  (  1  ;  1  )  =  1       (  3.2c  )

  
Und? Wer gibt mir B ? Das Ganze läuft doch hinaus auf ein ===>
Gaußsches Dreiecksverfahren; schauen wir uns nochmal ( 2.1ab ) an:

       (  x  -  2 )  /  (  x  -  1  )  ²   =  |  *  (  x  -  1  )        (  2.1a  )

   =  A  /  (  x  -  1  )  +  B  /  (  x  -  1  )  ²   |  *  (  x  -  1  )    (  2.1b  )

   (  x  -  2 )  /  (  x  -  1  )  =        (  3.3a  )

    =  A  +  B  /  (  x  -  1  )       (  3.3b  )

  
Vergleichen wir doch mal die Situation von ( 2.1b ) mit ( 3.3b ) In (
2.1b ) überlebt der Koeffizient A als Integralkern auf Grund der CIF .
Dagegen in ( 3.3b ) ist A auf einmal eine holomorphe Funktion ohne Singularitäten; der CIS fordert, dass ihr Beitrag nicht eingeht in das Integral.

   Bei B verhält es sich ein bissele anders; der Grund,
warum B in ( 2.1b ) verschwindet, war ja ein anderer. Wir bilden die Ableitung einer Konstante. Dagegen in ( 3.3b ) überlebt B kraft CIF ; der Pol in ( 3.3a ) ist einfach. Vgl. ( 3.2a )

     B  =  G  (  1  ;  1  )  =  1  -  2  =  (  -  1  )   (  3.4  )

   Es folgt noch eine Ergänzung Teil 4 , wo ich mich der Kurvendiskussion ( KD ) zuwende. 

Antwort
von gilgamesch4711, 2

Is döös aa zaachs Luder; schon wieder abgestürzt.

  Es folgt Teil 4 . Fassen wir zusammen; was war jetzt die
Ausgangsfunktion, damit wir den Überblick nicht verlieren. Mit (
1.2c;2.3b )

   f  (  z  )  =  1  +  1  /  z  -  1  /  z  ²      (  4.1  )

   Ich habe euch immer gesagt und wiederhole es hier:

   " Die Quotientenregel ist absolut tödlich; ihr müsst sie meiden wie die Pest. "

  
Dagegen hättest du diese gebrochen rationale Funktion ( GRF )  von Anfang an in Form ( 4.1 ) gegeben - du würdest sie auch in der Form ableiten.

   Halt Stop; Ableiten ist noch lange nicht. Ich bestehe auf der Grobskizze;

  1) Nullstellen

   2) Polstellen

   3) Asymptotik

   
Bei einer GRF musst du immer von Rechts kommen, weil du dann das asymptotische Verhalten in der Umgebung der Polstelle leichter erkennst.
Asymptote ist die Horizontale y = 1 In ( 4.1 ) hast  du im Ursprung z0 =0 eine Polstelle 2. Ordnung; wichtig ist das Vorzeichen des Residuums: Minus. Bei Annäherung an den Pol von Rechts haut der Graf ab nach ( - °° ) ; aha . Wegen der Asymptote erwarten wir eine Nullstelle  z2 > 0 .

   Die Polstelle ist gerade; von Links kommt der Graf wieder von 
( - °° )  ; hier verbirgt sich der zweite Knoten z1 .

   Bedingungsgleichung für die Nullstellen

       z  ²  +  z  -  1  =  0    |   MF    (  4.2a  )

         z1  <  0  <  z2    (  4.2b  )

    Unsere Forderung ( 4.2b ) ist in Einklang mit der Cartesischen Vorzeichenregel ( q < 0 )

    z1;2  =  1/2  [  -  1  -/+  sqr  (  5  )  ]     (  4.2c  )

   Extrema erwarten wir nicht. Erste Ableitung

   f  '  (  z  )  = 2 / z ³ - 1 / z ² = 0  ===>  z ( max ) = 2    (  4.3a  )

  
Was ist hier los? Fällt sie zwar monoton, hat aber rein zufällig einen ===> Terrassenpunkt? Nein ich gehe hier nicht über höhere
Ableitungen; es reicht, diesen Offset in ( 4.1 ) wegzumachen.

   F  (  z  )  :=  f  (  z  )  -  1  =  1  /  z  -  1  /  z  ²      (  4.3b  )

  
Was erwarten wir? Dass f ( z ) von Links von ( - 0 ) kommt und auch nach Rechts wieder nach ( - 0 ) abhaut. Nun ist aber die Nullstelle von ( 4.3b )

     Z2  =  1     (  4.3c  )

   D.h. rechts von Z2 verläuft der Graf von f ( z ) OBERHALB der Abszisse und verebbt folglich in ( + 0 ) Dort muss es ein F ( max ) > 0 geben; alles paletti. Dann allerdings erwarten wir rechts von ( 4.3a ) noch einen WP .

    f  "  (  z  )  =  2 / z ³ - 6 / z ^ 4 = 0 ===> z  (  w  )  =  3  ( 4.4 )

Antwort
von gilgamesch4711, 9

  Unverscnhhämtheit; er sagt extra, ich soll mich anmelden. Danach stürzt der Editor ab.

    Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch. Es heißt nicht Partial-sondern
Teilbruchzerlegung ( TZ ) Du sagst ja auch nicht

   " Jeder kriegt seinen gerechten Anpartial ... "

   Und zwar kommt TZ immer dann zum Einsatz, wenn

       Zählergrad  <  Nennergrad    (  1.1  )

   
Polynomdivision ( PD ) und TZ sind gewisser Maßen zwei
Zwillingsschwestern; sie " verdauen " dein Polynom. Beide, PD wie TZ , sind quasi Umkehrstrategien zur Bildung des Hauptnenners. Und zwar kommt PD stets dann zum einsatz, wenn die Bedingung ( 1.1 ) verletzt ist.

  
PD ist eine Division mit Rest und generiert daher zwangsläufig ein
Restpolynom, welches der Bedingung ( 1.1 ) gehorcht; in den Skripten findest du begründet, warum sie existiert und eindeutig ist. Wegen dieser Existenz und Eindeutigkeit ist aber egal, wie man es macht; jeder Schmuddeltrick ist zulässig:

  (  x  ²  -  x  -  1  )  :  (  x  -  1  )  ²  =       (  1.2a  )

   = ( x - 1 ) ² : ( x - 1 ) ² + ( x - 2 ) : ( x - 1 ) ²     (  1.2b  )

    =  1  +  (  x  -  2 )  :  (  x  -  1  )  ²     (  1.2c  )

   
Klar, wie ich in ( 1.2a ) ergänze? Leider sehe ich mich gezwungen
abzuschicken, weil dieser Editor keine längeren Terxte akzeptiert; es folgt aber noch eine Ergänzung Teil 2

Antwort
von gilgamesch4711, 5

   Dies Teil 2 . Bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos darfst du nur einmal antworten; und Ergänzungen werden chronologisch angefügt. Bei Lycos arbeite ich ja viel näher am Schüler; von Daher weiß ich, dass ihr alle total fit in PD seid ( was ich natürlich gut finde. )

   Aber TZ? Für alle, die es nicht können: Bei TZ handelt es sich um eine ( endliche ) Reihenentwicklung nach der höchsten Ordnung jeder Polstelle im Nenner.  Siehe ( 1.2c )

      (  x  -  2 )  /  (  x  -  1  )  ²   =         (  2.1a  )

   =  A  /  (  x  -  1  )  +  B  /  (  x  -  1  )  ²     (  2.1b  )

   Es gibt ein Teorem, wonach Existenz und Eindeutigkeit der Reihenentwicklungskoeffizienten A und B gesichert sind. Wieder ist jeder Schmuddeltrick erlaubt; ich plädiere immer für den einfachsten Weg. Am Ehesten dürfte den Schülern noch die Substitution einleuchten

        z  :=  x  -  1     (  2.2a  )

     x  =  z  +  1     (  2.2b  )

 ( 2.1a )  = [  (  z  +  1  )  -  2  ] / z ² =  (  z  -  1  ) / z ² =   (  2.3a  )

     =  1  /  z  -  1  /  z  ²    (  2.3b  ) 

  Es folgt noch ein Teil 3 .

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

am besten so, wie es da steht; also nicht mit (.....)²

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