Frage von Interceptor36, 39

Wie habe ich diesen Rechenschritt zu verstehen?

Folgende Rechnung: 1. y=2x^2-4x-9 2. 2(x^2-2x-9/2) Den 2. Schritt zum 3. kann ich nicht nachvollziehen. 3. 2((x-1)^2-1-9/2) Woher kommt die 1 vor der -9/2 und was wurde dort ganz allgemein gemacht ? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Wechselfreund, 39

Das ist die sogenannte quadratische Ergänzung: x^2 -2x möchte man zur bin Formel x^2 - 2x +1 ergänzen Da ist nämlich (x-2)². Dazu braucht man "+1", das zieht man dann wieder ab, damit letztendlich alles gleich bleibt. Jetzt hat man (x^2-2x+1)-1 also (x-1)²-1. und dann war da ja noch "-9/2"...

Kommentar von Interceptor36 ,

Ich versteh irgendwie immer noch nicht wofür man die +1 braucht.

Kommentar von Wechselfreund ,

Damit da die komplette ausgerechnete bin Formel x² -2x +1 steht und man dafür dann (x-1)² schreiben kann. Da man diese 1 für die Formel dazutun musste, nimmt man sie gleich wieder weg (außerhalb der Klammer steht also dann -1), so dass amn letztendlich den gleichen Wert hat. Wenn ich dir erst nen Euro schenke und gleich wieder wegnehme bist du so arm wie vorher...

Kommentar von Interceptor36 ,

Das habe ich schon verstanden. Wie ist es zum Beispiel bei der folgenden Aufgabe y=2x^2-12x-22 Sry, das ich deine Zeit so in Anspruch nehme, aber bei der quadratischen Ergänzung habe ich meine Probleme : D

Kommentar von Wechselfreund ,

Erstmal muss die 2 vor x² weg: ganze Gleichung durch 2

-> x²-6x+11

In der bin Formel steht a²-2ab + b² , a ist hier x, b wollen wir finden!

2ab ist also 2xb = 6x. b ist also die Hälfte vom Vorfaktor 6, also 3. Für die bin. Formel brauchen wir b², somir 3² = 9. 9 wird addiert und gleich wider abgezogen.

-> x² - 6x + 9 - 9 + 11 = (x-3)² -9+11 = (x-3)²+2

Quadratische Ergänzung bekommt man also, wenn man die Hälfte des FAktors vor dem x quadriert und dann ergänzt. Der Name hat also seine Berechtigung!

Kommentar von Interceptor36 ,

Wieso wird aus der -11 plötzlich eine +11 ?

Kommentar von Wechselfreund ,

Weil ich nicht aufgepasst habe! Fehler! Aus -22 wird natürlich bei Division durch zwei -11. Also am Ende (x-3)² -20 (wenn ich mich nicht schon wieder vertan habe!)

Kommentar von Wechselfreund ,

Am Besten, man macht eine Probe:

(x-3)²-20 = x²-6x+9-20 = x²-6x -11

(Die Division durch zwei zu Beginn geht übrigens nur, wenn auf der anderen Seite der Gleichung die 0 steht, also nach nullstellen gesucht wird. Ein Funktionsgraph wird gestaucht, aber die Nullstellen bleiben wo sie sind.)

Kommentar von Interceptor36 ,

Nein, scheint richtig zu sein xD Danke, dass hat mir sehr geholfen. Ich habe die ganze Zeit nicht verstanden, wie man bei deiner Gleichung b herausfindet. 2xb=6x hat das sehr gut veranschaulicht. :)

Antwort
von Schueler0812, 34

naja das ist das binomischeverfahren (quadratische ergänzung) sprich x^2-2x = (x-1)^2-1 lös das mal auf also (x-1)*(x-1)-1



xx =x^2
x
-1= -x
-1x= -x
-1
-1=1

Daraus resultiert


(x-1)^2 -> wäre aufgelöst x^2 -x -x +1

da du eine 1 zu viel hast durchs quadrieren musst du diese ausgleichen deswegen die -1

also ist dann

x^2-2x = (x-1)^2-1 = x^2 -x -x +1 -1


Kommentar von Interceptor36 ,

Aber woher weiß ich, welche Zahl ich zum ausgleichen benötige ?

Kommentar von Schueler0812 ,

indem du das ganze auflöst. z.b

du hast

x^2+8x = (x+4)^2  [das Quadrat aufgelößt]

x^2+8x = (x+4) (mal) (x+4) [klammern auflösen]

x^2+8x = x^2 +4x +4x +16  [zusammen fassen]

x^2+8x = x^2 +8x +16 [du siehst da sind 16 zu viel also ziehst du davon wieder 16 ab]

x^2+8x = (x+4)^2-16

Kommentar von Wechselfreund ,

Was sollen die Gleichungen in der Mitte?  -1-1=1 ????

Kommentar von Schueler0812 ,

hatte da überall sternchen gemacht das hat der nicht angenommen das soll heißen -1(mal)-1=1

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