Frage von Alphaschlingel, 23

Wie groß ist der Durchmesser eines gleichmäßigen 12-Ecks mit der Seitenlänge 10cm (also der abstand zwischen 2 gegenüberliegenden seiten)?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 9

Hallo,

wenn ein regelmäßiges Zwölfeck einem Kreis eingeschrieben ist, bekommst Du 12 gleichschenklige Dreiecke, die an der Spitze einen Winkel von jeweils 360/12=30° besitzen. Fällst Du vom Kreismittelpunkt die Höhe auf eine Basis, also die Seite von 10 cm Länge, bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck. Die Basiswinkel sind dann 90° und 75° groß, der Winkel am Kreismittelpunkt hat 15°. Die Höhe ist der halbe Durchmesser des Zwölfecks, wenn man den Abstand von einer Seite zur gegenüberliegenden und nicht den Abstand zwischen gegenüberliegenden Ecken meint.

Diese Höhe bestimmst Du über den Tangens.

Es gilt: tan (15°)=5 cm/h

h=5 cm/tan (15°).

Das Doppelte davon ist dann der gesuchte Durchmesser.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von karajan9, 8

Die Frage ist recht schwer zu beantworten, ohne zu wissen, was dein Kenntnisstand ist.

Ich würde so vorgehen. Diesen 12-eckige Dreieck besteht ja auch 12 gleichseitigen "Kuchenstücken", wobei die kurze Seite 10cm lang ist. Da du weißt, dass es 12 davon gibt und ein voller Kreis 360° hat, weißt du, welchen Winkel das Stück an der Spize hat. So kannst du auch die langen Seiten ausrechnen.

Dann berechnest du die Länge der Winkelhalbierenden, denn das ist ja die Hälfte des Durchmessers.

Viel Erfolg! :-)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 4

zuerst eine Skizze machen;

mit Durchmesser meinst du nicht den Durchmesser des Außenkreises?

Abstand gegenüberliegender Seiten wäre 2h

und h in einem Dreieck berechnest du mit

tan 15 = 5/h  (weil 360:12=30)

h = 5 / tan 15

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