Frage von YvonneWillhart, 33

Wie Gleichung einer Parabel f mit folgenden Eigenschaften errechnen?

Hallo, folgende Aufgabe: f hat genau eine Nullstelle bei x=4 und schneidet die y- Achse bei y=8. Leider verstehe ich nicht ganz welche formel ich benötige, bzw. wie ich überhaupt mit diesen Angaben eine Gleichung aufstellen (errechnen) kann :( Könnte mir vlt jemand erklären wie das geht?

Danke schon mal im Vorraus!

Antwort
von gfntom, 16

Die allgemeine Form der Parabelgleichung ist
y = ax² + bx + c

Du musst a, b und c herausfinden.

Du hast 2 Punkte, die du dafür in die Gleichung einsetzen kannst.
Außerdem hast du die Information, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat. Das bedeutet, die Parabel berührt in diesem Punkt die x-Achse. Dies wiederum bedeutet, die Ableitung der Gleichung ist in diesem Punkt = 0.

Reicht dir das?

Antwort
von TomRichter, 9

Falls Ihr, da Ihr bisher keine anderen gelernt habt, mit Parabel eine solche 2. Grades meint, ist die Aufgabe eindeutig lösbar. Die Lösung dafür wurde schon mehrfach genannt.

Mit Parabeln höheren Grades, also mit x^3 und höheren Exponenten, gibt es unendlich viele Lösungen.

Zunächst erfüllt die Gleichung

   y = 8 * (1 - x/4)^n

für jedes positive ganzzahlige n die Bedingungen. Mit n=1 ergibt sich eine Gerade, mit n=2 die schon von anderen genannte Parabel, mit n>2 ergeben sich weitere Parabeln, die alle die Bedingungen erfüllen.

Aber auch die Gleichungen

   y = 8 - 8 * (x/4)^n

   zum Beispiel y = 8 - 0.125 * x^3

erfüllen bei ungeradem n die Bedingungen (diese als Beispiel dafür, dass bei x=4 keine horizontale Tangente vorliegen muss).

Vermutlich gibt es noch mehr Formen.

Antwort
von FataMorgana2010, 15

Wenn f genau eine Nullstelle hat, dann muss das eine doppelte Nullstelle sein, du kennst damit also beide Nullstellen. 

Da bietet es sich an, mit der Produktform der Parabelgleichung zu arbeiten: 

f(x) = a (x-x1)(x-x2)

Dabei sind x1 und x2 die beiden Nullstellen, hier ist also x1=x2=4. Damit hast du schon mal: 

f(x) = a (x-4)(x-4). 

Jetzt hast du noch eine weitere Information, nämlich dass die Parabel die y-Achse bei 8 schneidet. Das heißt ja, dass der Punkt (0,8) auf der Parabel liegt, und das heißt

f(0) = 8. 

Das setzt du ein: 

8 = f(0) = a (0-4) (0-4) = a * 16

Umgeformt hast du dann 

a  = 8/16 = 1/2. 

Insgesamt

f(x) = 1/2 (x-4)(x-4) 

Das jetzt ausmultiplizieren

f(x)  = 1/2 (x - 8x + 16) = 1/2x - 4x + 8

Antwort
von sim46, 16

Gleichung für Normalparabel aufstellen, Bedingungen aufstellen und nach Vorfaktoren auflösen!

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Die Formel y = mx + b ist eine Geradengleichung, keine Parabelgleichung. 

Kommentar von sim46 ,

Ja, sorry, zu schnell gewesen!

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathe, 12

Hi :)

Das nennt man Rekonstruktion von Funktionen ;-)

Du weißt:

  • f(4) = 0
  • f(0) = 8

Man kann sich (da du nicht gesagt hast, um welche Funktion es geht) den einfachsten Fall, nämlich eine lineare Funktion nehmen. Das wäre dann

f(x) = -2x +8

Wenn man von einer Funktion zweiten Grades ausgeht (seh grad, das steht im Titel ^^), haben wir eine Gleichung der Form

f(x) = ax² +bx +c
f'(x) = 2ax +b

Nun wissen wir:

  • f(0) = 8
  • f(4) = 0
  • f'(4) = 0

Daraus folgt: c = 8

I: 16a +4b +8 = 0

II: 8a +b = 0
=> b = -8a

In die erste Gleichung einsetzen:

16a +4(-8a) +8 = 0
-16a = -8
=> a = 1/2

Nun in die nach b aufgelöste Gleichung einsetzen:

=> b = -4

Also ist die Gleichung:

f(x) = 1/2x² -4x +8

Bei Fragen oder ausführlichen Erläuterungen melde dich! Im Anhang ein Bild, dass beide Funktionsgleichungen zutreffen.

LG

Kommentar von TomRichter ,

> f'(4) = 0

Das gilt aber nur für Parabeln 2. Grades (in der Aufgabe ist ganz allgemein von Parabel die Rede). Und diese Bedingung aus der Aufgabe herzuleiten gelingt wohl auch nur jemand, der sich schon gut auskennt.

Kommentar von DieChemikerin ,

Ja gut dieses Talent habe ich nicht wirklich. Ich bin nicht schlecht in Mathe, aber ich hasse Rekonstruktion. Wenn ich mich damit befassen würde, würde ich es vielleicht rauskriegen.

Kommentar von TomRichter ,

Wieso? Du hast die Bedingung immerhin richtig erkannt :-)

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