Frage von tjooo, 33

Wie ging das nochmal mit der extremstellenberechnung einer funkiton 3. Grades?

Also leute. Ich wuerde gern mein mathe etwas aufrischen und wollte euch fragen ob ihr mir erklaeren koennt wie das nochmal mit der extremstellenberechnung war. Man muss de erste ableitung machdn , und danach die p q formel anwenden. Die beiden nullstellen sind jeweils die x werte des hoch und tiefpunktes. Und dann ? Wie bekomme ich den y wert raus und wie finde ich heraus , welche der hocj und welxhe der tiefpunkt ist. Ist der mit der minus zahl vor dem x wert automatisch der tiefpunkt? Und wofuer war nochmal die 2. Ableitujg da ? Wie ihr seht ich bin bisschen verwirrt und im internet waren leider nur beispiele ohne erklaerung

Antwort
von poseidon42, 13

Sei nun die Funktion f(x) ein Polynom des Grades 3, also der Gestalt:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

So lauten die Ableitungen von dieser:

f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f´´(x) = 6ax + 2b 

f´´´(x) = 6a 

1.) Extremstellen:

Eine Extremstelle ist dort, wo die Änderungsrate einer Funktion gleich 0 ist. Berechnen lassen sich die Extremstellen x(e) durch gleichsetzen der 1. Ableitung mit 0 und Auflösen nach x. Dadurch erhalten wir die Extremstellen x(e). 

Hier am Beispiel eines Polynoms 3. Grades:

f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c  =  0   II *1/3a    II pq-Formel

x(e) = - b/3a  +/- ((1/9a²) - c/3a )^(1/2)

Um nun zu bestimmen, ob es sich bei der jeweiligen Extremstelle um die eines Hochpunktes oder Tiefpunktes handelt ziehen wir die 2. Ableitung zu Rate. Es gilt nämlich:

f´´(x(e)) < 0  ---> Hochpunkt

f´´(x(e)) > 0  ----> Tiefpunkt

f´´(x(e)) = 0 -----> keine Extremstelle, eventuell ein Sattelpunkt

Diese Beziehungen kommen dadurch zustande, dass ein Hochpunkt lokal gesehen der "höchste Punkt" ist, dabei nimmt die Steigung immer weiter ab, bis sie auf 0 absinkt, weshalb wir obiges Verfahren angewandt haben. Nach dem erreichen des lokal höchsten Punktes kann die Funktion also nur noch abnehmen, dies bedeutet, die Steigung wird negativ. Dadurch interessiert uns die "Steigung der Steigung", da wir wissen wollen, ob denn nun die Funktion der Ableitung in x(e) abnehmend oder zunehmend ist. Die erste Ableitung verrät uns ja nichts über ihr Steigungsverhalten, sie ist ohnehin in x(e) = 0, daher der Umweg über die 2. Ableitung. Die Begründung für den Hochpunkt lässt sich dann analog für einen Tiefpunkt formulieren.

Der Extrempunkt lässt sich dann einfach durch einsetzen der Extremstelle x(e) in f(x) ermitteln, dabei gilt: 

P(e) = (x(e) | f(x(e))) 


2.) Wendestellen:

Eine Wendestelle liegt vor wenn die 1. Ableitung maximal wird, dann tritt nämlich das gleiche Phänomen auf wie oben, es kommt aufgrund obiger Begründung zu einem Wechsel des Steigungsverhältnisses von Zu- zu Abnehmend oder umgekehrt. Dadurch, dass wir hier von einer Extremstelle der 1. Ableitung reden, handelt es sich dabei also um einen Punkt auf f(x), in dem die Steigung lokal maximal ist. 

Man bestimmt also die Wendestelle x(w) durch gleichsetzen der 2. Ableitung mit 0. Hier an dem Beispiel des Polynoms 3. Grades:

f´´(x) = 6ax + 2b = 0 

       x(w) = -2b/6a

Um nun zu bestimmen ob der Graph hier nun von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über geht oder umgekehrt, lässt sich über die 3. Ableitung bestimmen. (Analoge Begründung zu der Bestimmung der Art des Extrempunktes). Man setzt nun die Wendestelle x(w) in die 3. Ableitung ein:

f´´´(x(w)) > 0  ---->  Re-Li - Krümmung

f´´´(x(w))  < 0 ----> Li - Re - Krümmung 

f´´´(x(w)) = 0   keine Aussage möglich (Wird bei euch sowieso nicht vorkommen)

Die Wendepunkte erhält man nun durch einsetzen der Extremstelle in die Funktion, dabei gilt wie gehabt:

P(w) = ( x(w) | f(x(w)) 

Nun gibt es noch eine besondere Art von Wendepunkt, auch Sattelpunkt genannt. Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt in dem die Steigung gleich 0 ist, also eine Ausnahme von der obigen Regel. Also lauten die Eigenschaften eines Sattelpunktes:

f´(x(s)) = 0

f´´(x(s)) = 0

f´´´(x(s)) != 0     II  " != " = Ungleich

Dabei sind die Aussagen über das Krümmungsverhalten über die 3. Ableitung beim Sattelpunkt die gleichen. Auch den Sattelpunkt berechnet man wieder durch einsetzen der Sattelstelle in die Funktion f(x) und es gilt wie gehabt:

P(s) = ( x(s) | f(x(s)) )

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 2

Beispiel -->

y = f(x) = 2 * x ^ 3 - 7 * x ^ 2 + 4 * x - 5

y´ = f´(x) = 6 * x ^ 2 - 14 * x + 4

y´´ = f´´(x) = 12 * x - 14

y ´´´ = f´´´(x) = 12

Die Extremwertstellen sind an den Stellen für x, an denen die 1-te Ableitung Nullstellen hat.

y´ = 6 * x ^ 2 - 14 * x + 4

6 * x ^ 2 - 14 * x + 4 = 0 | : 6

x ^ 2 - (14 / 6) * x + (4 / 6) = 0

Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = - (14 / 6)

q = (4 / 6)

p / 2 = - (14 / 12)

(p / 2) ^ 2 = (- (14 / 12)) ^ 2 = 196 / 144

x _ 1, 2 = - (- (14 / 12)) - / + √(196 / 144 – 4 / 6)

x _ 1, 2 = 14 / 12 - / + √(196 / 144 – 96 / 144)

x _ 1, 2 = 14 / 12 - / + √(100 / 144)

x _ 1, 2 = 14 / 12 - / + √(100) / √(144)

x _ 1, 2 = 14 / 12 - / + 10 / 12

x _ 1 = 4 / 12 = 1 / 3

x _ 2 = 24 / 12 = 2

Nun kennt man zwar die x - Stellen an denen sich Extremwertpunkte befinden, aber ein Punkt besteht im zweidimensionalen Koordinatensystem immer aus einer x-Komponente und einer y-Komponente.

Deshalb muss man die x - Werte der Nullstellen der 1-ten Ableitungen noch in f(x) einsetzen -->

f(x) = 2 * x ^ 3 - 7 * x ^ 2 + 4 * x - 5

f(1 / 3) = 2 * (1 / 3) ^ 3 - 7 * (1 / 3) ^ 2 + 4 * (1 / 3) - 5 = -118 / 27

f(2) = 2 * (2) ^ 3 - 7 * (2) ^ 2 + 4 * (2) - 5 = -9

Damit sind die Extremwertpunkte -->

E _ 1 (1 / 3 | -118 / 27)

E _ 2 (2 | -9)

Damit kennen wir zwar die Extremwertpunkte, aber ob es sich dabei um Tiefpunkte / Minima oder um Hochpunkte / Maxima handelt, dass wissen wir damit noch nicht.

Deshalb setzen wir die x - Werte der Nullstellen der 1-ten Ableitungen noch in f´´(x) ein -->

f´´(x) = 12 * x - 14

Es gilt -->

Ist der Funktionswert der 2-ten Ableitung an einer Nullstelle x der 1-ten Ableitung > 0, dann liegt an dieser Stelle ein Tiefpunkt / Minimum.

Ist der Funktionswert der 2-ten Ableitung an einer Nullstelle x der
1-ten Ableitung < 0, dann liegt an dieser Stelle ein Hochpunkt / Maximum.

Ist der Funktionswert der 2-ten Ableitung an einer Nullstelle x der
1-ten Ableitung = 0 und gleichzeitig f´´´(x) ≠ 0, dann liegt an dieser Stelle ein Wendepunkt vor, der kein Extremwertpunkt ist.

f´´(1 / 3) = 12 * (1 / 3) - 14 = -10

Weil das < 0 ist, deshalb ist der Punkt E _ 1 ein Hochpunkt / Maximum.

f´´(2) = 12 * 2 - 14 = +10

Weil das > 0 ist, deshalb ist der Punkt E _ 2 ein Tiefpunkt / Minimum.

Nun können wir E _ 1 und E _ 2 noch umbenennen / neue Namen geben, wenn wir das möchten -->

E _ 1 benennen wir in H um.

E _ 2 benennen wir in T um.

H (1 / 3 | -118 / 27) (Hochpunkt)

T (2 | -9) (Tiefpunkt)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 7

Für den Anfang reicht die erste Ableitung. Bei einer Kurve 3. Grades ist diese quadratisch und damit der p,q-Formel zugänglich. Du musst nur erst gucken, ob vor dem x² noch was steht. Dann musst du erst die ganze Gleichung durch den Faktor dividieren (alle 3 Zahlen), sodann p,q.
Es gibt maximal 2 x-Lösungen.

Die y-Werte bekommst du, wenn du die gefundenen x-Werte  in die Originalfunktion 3. Grades einsetzt. Dann siehst du auch, welcher y-Wert höher ist. Das ist nämlich das Maximum, der andere das Minimum. Erst mal reicht das!

Die zweite Ableitung wirst du später für Wendepunkte brauchen.
Nach denen hattest du aber ausdrücklich nicht gefragt.

Im Internet steht alles drin.
Man muss nur ein bisschen suchen, z.B. unter dem Stichwort "Wendepunkte".

---
Damit dein Verständnis zurückkommt, habe ich einen Normalfall angenommen. Wenn man einige davon bewältigt hat, kann man sich um die Sonderfälle kümmern.

Antwort
von fjf100, 10

TIPP :Besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einen Buchladen,da steht alles drin im Kapitel "Funktionen","differentationsregeln","integrationsregeln" und so weiter.Du musst die Formeln nur noch exakt anwenden können.

Extremstellen werden über die Ableitungen ermittelt oder wie ich es mache mit einen Graphikrechner (Casio).Die Dinger verrechnen sich nie.Ohne solch ein Ding bist du bei Funtionen total aufgeschmissen.

1, Schritt Erst mal 3 mal ableiten.

Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0

minimum f´(x)=0 und f´´>0

Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich 0

Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null und zusätzlich f´(x)=0

HINWEIS : Der Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt,wo die Tangente parallel zur x- Achse liegt

2.Schritt die geforderten Nullstellen bei den Ableitungen ermitteln

INFO : Kein Ingenieur rechnet sowas heute noch von Hand.Risiko für Fehler zu groß und dauert zu lange.

Antwort
von TorO0o, 7

Genau so!

Ableiten und dann die Ableitung = 0 setzen (pq-Formel bzw. "Mitternachtsformel"). Dann weißt du: Hier ist deine Funktion parallel zur X-Achse!
Damit sind die Chancen, dass es sich um einen Extrempunkt handelt, ziemlich gut. Könnte aber auch ein "Sattelpunkt" sein. d.h. die Funktion fällt, wird "gerade", und dann fällt sie weiter...

Um das herauszufinden: Nochmal ableiten. Die zweite Ableitung darf dann nicht = 0 sein.

Ist sie Null: Ist es ein Sattelpunkt.

Ist sie < 0: Rechtskurve, also Maximum.

Ist sie > 0: Linkskurve, also Minimum.

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