Frage von skelent, 35

Wie genau macht man sich Transitivität in mathematischen Problemstellungen zunutze?

Hallo zusammen,

in einigen mathematischen Teilgebieten liest man gerade in den Grundgesetzen von Transitivität. Allgemein verstehe ich es als, steht ein Sachverhalt A mit einem Sachverhalt B in Verbindung und stehen zugleich derselbe Sachverhalt B mit einem Sachverhalt C in Verbindung, so stehen Sachverhalt A und C ebenso in Verbindung zueinander. Nun erklärt sich mir dies als ein Trivialfall; womöglich ist dies der Grund, warum man Transivität nicht erkennt, weil man es intuitiv so wahrnimmt; weil darauf logisches Denken aufbaut...

Meine Frage also: Was übersehe ich? Kann mit vielleicht jemand erklären, wie man sich Aufgaben aus Mengenlehre, Boolescher Algebra und ähnlichem mit Hilfe des Transitivitätsgesetzes vereinfachen kann oder wie man in Thermomechanik den 0. Hauptsatz anwendet, bzw. welche Aufgaben man damit vereinfachen kann?

Antwort
von Schilduin, 25

Die Transitivität ist eine Anforderung, die beispielsweise an Relationen gestellt wird. Anders ausgedrückt, Relationen sind per Definition transitiv. Damit lassen sich dann weitere Aussagen folgern. Entsprechend ist es notwendig, wenn man eine neue Relation definiert, auch zu zeigen, dass diese transitiv ist. In anderen Zusammenhängen ist mir der Begriff jedenfalls nicht begegnet, so weit ich mich erinnere.

Kommentar von skelent ,

Jetzt, wo du es eine Anforderung nennst, macht es schon mehr Sinn. Allerdings klickt es noch nicht ganz...

Es begegnet einem im 0. Hauptsatz der Thermodynamik, der definiert ist als, steht ein System A mit einem System B in thermischem Gleichgewicht, und steht das System B mit einem System C in thermischem Gleichgewicht, so stehen auch System A und System C in thermischem Gleichgewicht.

Bisher habe ich gelernt, dass man die Hauptsätze der Thermodynamik anwenden kann um Problemstellungen zu lösen. So kann der 1. Hauptsatz der Thermodynamik angewandt werden als Gleichung zum Vergleich zweier Zustände:

E - E_1 = Q_12 + W_12

Nur leider finde ich keine Anwendung für den 0. Hauptsatz der Thermodynamik. Warum ist er so wichtig, dass er als 0. Hauptsatz aufgenommen wurde? Heißt das etwa, dass die Hauptsätze der Thermodynamik nicht angewandt werden können, bei Problemstellungen, bei denen schon das Transitivitätsgesetz (der 0. Hauptsatz der TD) nicht angewendet werden kann? Oder allgemeiner:

Wie wird der 0. Hauptsatz der TD angewandt?

Kommentar von bergquelle72 ,

Da hast Du Dich etwas schräg ausgedrückt.

Ja, Transitivität ist eine Eigenschaft (Du schreibst Anforderung) die manche Relationen haben.

ABER: Eine Relation ist nicht "per se" transitiv. Sonst müßte man ja nicht (wie Du richtigerweise schreibst) zeigen oder beweisen, daß sie transitiv ist. Ein Ordungsrelation ist z.B. immer transitiv, dies ist in der Definition so vorgegeben.

Es gibt aber viele Relationen, die nicht transitiv sind. In der Definition des Begriffes "Relation" wird dies nicht gefordert, dazu ist diese Definition zu schwach.

Kommentar von skelent ,

Bist du Lehrer? Anderenfalls will ich was von deinem Fortschritt.

Kommentar von bergquelle72 ,

das war eine Antwort an Schilduin

Kommentar von skelent ,

Es war ein Kommentar unter seiner Antwort, daher war mir das klar. Kannst gut erklären, scheinbar sogar egal wem. :)

Oder hast du vielleicht meinen Kommentar falsch verstanden? :D
Er war alles andere als böse gemeint.

Ich will was von deinem mathematischen Fortschritt im Geiste. ;)


Antwort
von bergquelle72, 20

Transitivität hast Du genau erklärt.

Wieso ist das eine Trivialität ? In vielen Beziehungen ist es intuitiv richtig, aber es gibt Beziehungen, die nicht transitiv sind: z.B. A ungleich B; B ungleich C; bedeutet aber nicht, daß auch A ungleich C ist.

Oder eine einfache Beziehung aus der Biologie: A ist Vater von B; B ist Vater von C; aber ist dann  auch A Vater von C ???

Du siehst, es gibt ganz einfach zu verstehende Beziehungen, die nicht transitiv sind. Transitiv ist also eine "wertvolle" Eigenschaft, mit der man viel erreichen kann, wenn man beweisen kann, daß eine Beziehung diese Eigenschaft hat.

Zu dem zweiten Teil deiner Frage: Ich kann Dir jetzt nicht zu allem Beispiele deteilliert erläuetern, wie in den genannten Gebieten die transitive Eigenschaft hilfreich angewendet werden kann.

Hier nur soviel: "Größer als" ist eine Transitive Beziehung. Wenn ich nicht klären kann, ob A > Z ist aber in anderen Überlegungen rausfinde (beweisen kann) daß A>B ist und B>C und C>D ....und X>Y und Y>Z, dann ist meine Anfangsfrage schon gelöst, ohne daß ich es explizit beweisen muß.

Kommentar von skelent ,

Du hast vollkommen recht. Ich habe die Induktion so sehr lieben gelernt, dass ich vergessen habe auszuschließen. Danke für die Denkstütze; eben danach habe ich gesucht.

Kommentar von bergquelle72 ,

verstehe:  "Beziehung" = "Relation"

Kommentar von skelent ,

Genau.

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