Frage von Karimmo, 104

Wie genau lautet die Lösung (Zeitdilatation)?

Guten Tag Gemeinde, "Die Entfernung von unserem Sonnensystem zum nächsten Stern beträgt 4,2 Lichtjahre. Der Astronaut behauptet, dass er diese Entfernung in weniger als einem Jahr zurücklegen kann. Begründen Sie, dass der Raumfahrer Recht hat. Mit welcher Geschwindigkeit muss der Raumfahrer reisen, wenn er in sechs Monaten diese Strecke bewältigen will ? " Dies ist die Aufgabe bei der ich mir nicht sicher bin.

Im Unterricht stellten wir die Formal auf: v/c = Wurzel aus ( 1- (t0/t)^2)

Ich haben für ... t0= 6 Monate t= 12 Monate ...genommen

Bin auf das Ergebnis v/c = 0.866 (86% der Lichtgeschwindigkeit) gekommen.

Ich bedanke mich wenn mir jemand sagen könnte ob dies richtig ist, und wenn nicht, wie der richtige Lösungsweg lautet.

Danke

Antwort
von DieMilly, 24

Ich sehe bisher nur falsche Lösungsansätze. 

Zunächst mal ist dein Fehler, dass du die Beziehung zwischen der Eigenzeit T und der Koordinatenzeit t verwendest. Das bringt aber nichts, weil du t gar nicht kennst. Du weißt nur, dass die Reise für den Astronauten 6 Monate dauert und die Entfernung L = 4,2 ly ist.

Aus der Sicht des Raumschiffs wird einfach die kontrahierte Entfernung L' in der Eigenzeit T durchlaufen, also:

v = L' / T

Dabei ist L = 4,2 ly und L' = L*wurzel(1-v²/c²).

Damit wir die Wurzel loswerden, rechnen wir quadratisch weiter:

v² = L² (1-v²/c²) / T²

Jetzt einfach die Klammer auflösen und nach v² umstellen, dann die Wurzel ziehen. Das ergibt:

v = L/T * wurzel(1/[1+ L²/(cT)²])

Bitte T und L in Sekunden und Meter umrechnen, einsetzen und du bekommst:

v = 99,3% der Lichtgeschwindigkeit

-------

Anmerkung: Du hattest benutzt, dass t = 12 Monate sei. Du hättest gleich sehen können, dass dies nicht sein kann, weil das Schiff dann in einem Jahr stolze 4,2 ly weit reisen würde, sich also mit v = 4,2 c bewegen müsste.

Antwort
von Lumpi101, 28

Die Formel scheint mir richtig zu sein. Du musst nur wissen, für was die einzelnen Variablen stehen!

v ist die Geschwindigkeit des Reisenden. c ist klar. t0 ist die Eigenzeit des Reisenden, also 6 Monate, soweit richtig. Für t musst du allerdings die Zeit einsetzen, die für den Beobachter auf der Erde vergeht (den wir angenähert als ruhend betrachten). Für diesen Beobachter dauert die Reise t=s/v mit s=4,2 Lichtjahre. Du musst also für t=s/v einsetzen. Die Gesamte Formel dann nochmal nach v/c auflösen und einsetzen und ausrechnen.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, erhält man die Formel v/c = Wurzel aus (1 / (t0^2 c^2 / s^2 + 1)) und man erhält 94,5% der Lichtgeschwindigkeit.

Kommentar von ffrancky ,

Hallo Lumpi, ich verstehe die Aufgabe anders - ich glaube es ist wesentlich komplizierter.

Das Problem ist, das für den Beobachter nicht 4,2 Lichtjahre vergehen, sondern t = s/v Zeit vergeht (die Geschwindigkeit des Raumschiffes kennen wir ja nicht - diese ist zu berechnen). 

Nehme ich v als Variable und setze nun für die Zeit des Beobachters T = s/((v/c)*c) und für T0 = 6 Monate, kann ich nach v/c auflösen. 

Allerdings gibt es dann nur komplexe Lösungen

Kommentar von Lumpi101 ,

Hallo,

aber genau das habe ich doch getan: wir wissen nicht, wieviel Zeit für den Beobachter vergeht, deshalb habe ich (so wie du auch) für diesen die Zeit t=s/v angesetzt.

Anschließend nach v umgestellt, erhalte ich allerdings keine komplexe Lösung. Vllt hast du dich beim Umstellen vertan? Meine Lösung ist wie oben angegeben.

Kommentar von Karimmo ,

Ich danke euch beiden wirklich.

Expertenantwort
von TomRichter, Community-Experte für Physik, 18

"Da ich keinen Wert aus der Aufgabe ableiten kann, setze ich einfach mal 12 Monate ein" ist ein ganz, ganz schlechter Weg, eine Aufgabe zu lösen.

Wenn Dir eine Größe fehlt, dann musst Du nochmal eine Runde nachdenken - irgendwas ist dann noch gegeben, was Du übersehen hast.

Die Eigenzeit T' des Raumfahrers ist 6 Monate, soweit richtig. Über die korrespondierende Zeit aus irdischer Betrachtung können wir erst nach Lösen der Aufgabe etwas sagen (kurzes Nachdenken ergibt immerhin, dass es mehr als 50 Monate sind), bis dahin nennen wir sie einfach T.

Aus Raumfahrersicht sind das 6 Monate; somit

(Gleichung 1)     6 Monate = T / sqr(1 - v²/c²)

Was wissen wir über v? Aus irdischer Sicht ist die Entfernung 4,2 Lichtjahre, also v = (4,2 lj) / T   (Gleichung 2)

Ersetze v in (1) durch (2), und Du hast eine Gleichung mit T als einziger Unbekannter. Löse sie, und Du hast die Aufgabe gelöst.

Kommentar von DieMilly ,

Auch gut! Ich persönlich finde meinen Ansatz jedoch weniger verwirrend, nämlich den "Eigenweg" zu benutzen, einfach weil man dann wieder die bekannte Formel v = weg / zeit nehmen kann. Nur eben: v = Eigenweg / Eigenzeit :)

Kommentar von TomRichter ,

Hätte ich Deine Antwort vorher gelesen (Du schriebst sie gleichzeitig wie ich), hätte ich mir eine eigene Antwort erspart.

Antwort
von Raph101, 23

Also bei t0 setzt du 4 Jahre (Zeit für den Ruhenden Beobachter. Es Dauer ja 4 Jahre mit c um dorthin zu kommen) ein. Bei t dann 12 Monate(die Zeit für den bewegten Beobachter. Die beträgt ja unter einem Jahr. Deshalb nehmen wir doch einfach mal genau ein Jahr )
Dann nach v auflösen und du solltest die Geschwindigkeit bekommen wenn ich richtig liege.

Kommentar von Lumpi101 ,

Das ist nicht ganz richtig. Der ruhende Beobachter wird länger als 4 Jahre warten müssen, denn der Reisende ist nicht mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs.

Kommentar von Raph101 ,

Ich geh einfacher halber mal vom extremum aus^^
Sonst wäre das hier ne optimierungsaufgabe. Das vermut ich eher nicht.

Antwort
von ffrancky, 36

Guten Tag. 

Warum hast du für t = 12 Monate eingesetzt? War das in der Angabe enthalten? Das wäre nämlich ein entscheidender Faktor für die Lösung der Aufgabe

Kommentar von Karimmo ,

Ich bin davon ausgegangen das die Zeit für aus auf der Erde 1 Jahr dauert (12 Monate) und seine Eigenzeit (für dein Astronauten) 6 Monate.
Ansonsten fehlt mir ein Wert um diese Formal zu verwenden.

Kommentar von ffrancky ,

Du hast ja auch die Entfernung zum nächsten Stern mit 4.2 Lichtjahren gegeben. Ich vermute dass darin der Schlüssel zur Lösung für die stehende Uhr liegt.

Kommentar von Karimmo ,

Mir wurde gesagt, dass die Entfernung egal sei da man bei Lichtgeschwindigkeit zu jedem Ort immer gleichschnell ist. Lichtgeschwindigkeit = max. Geschwindigkeit

Trotzdem danke.

Ich werde eventuell mal nach anderen Formeln suchen.

Kommentar von ffrancky ,

Die Formel stimmt schon. Das einzige was dir jetzt noch fehlt ist T. Ich werde es gleich mal berechnen. Vielleicht kürzt sich die Entfernung aus der Gleichung raus

Kommentar von rumar ,

Der Zug von Berlin nach München fährt auch (etwa) gleich schnell wie der von Berlin nach Hamburg. Trotzdem dauert die Reise nach München deutlich länger als die nach Hamburg ...

Oder was meinst du denn mit "gleichschnell" ??

Kommentar von Karimmo ,

Bei Lichtgeschwindigkeit kann dieses Beispiel nicht angewendet werden.

Kommentar von rumar ,

Bei jeder irgendeinem "Raumschiff" möglichen Geschwindigkeit, die stets kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, aber schon !

Kommentar von Lumpi101 ,

Ist man mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs (was für massebehaftete Objekte unmöglich ist), ist die Eigenzeit null, egal welche Entfernung. In allen anderen Fällen ist die zurückgelegte Strecke definitiv von Bedeutung. Für einen ruhenden Beobachter spielt die Entfernung immer eine Rolle. (Könnte ich Photonen beobachten, würde ich feststellen, dass diese 8 min. von der Sonne bis zu uns brauchen, für Photonen vom nächsten Stern aber 4,2 Jahre brauchen.)

Kommentar von ffrancky ,

Meine Lösung wäre 99,2% der Lichtgeschwindigkeit

v/c = sqrt(1-(T*c/s)^2)

Antwort
von rumar, 29

So wie ich sehe, geht die Distanz zum Nachbarstern, also die Angabe der 4.2 Lj , überhaupt nicht in deine Rechnung ein. Da kann also wohl etwas noch nicht ganz stimmen.

Ferner beruht deine Rechnung wohl auf einer Reise mit konstanter Geschwindigkeit. Da dürfte sich besonders das Ein- und Aussteigen als ziemlich unangenehm erweisen ...

Kommentar von Karimmo ,

Hätten Sie denn eine andere Formel im Blick

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