Frage von Serudaruu, 73

Wie geht folgende Gleichsetzung bei dieser Bewegungsaufgabe?

Mal die Aufgabe kurzgefasst:

Um 17:46 Uhr geht Person A los, diese braucht 15 Minuten bis sie am Ziel ist, aber um 18 Uhr sollte sie eigentlich angekommen sein, sonst ist es nämlich zu spät.

Deswegen wird um 17:49 Uhr eine Person B losgeschickt um das Ziel rechtzeitig zu erreichen. Diese Person braucht nur 10 Minuten für den Weg.

F: Wie lange braucht Person B noch zum Ziel, wenn sie Person A eingeholt hat?

  • Ich würde jetzt 60:10 und 60:15 rechnen; 6 und 4

Person A: 4x * m/h Person B: 6x * m/h

(ist das überhaupt richtig?)

Ich wüsste jetzt nicht wie man gleichsetzen soll, zumal ich die drei Minuten gar nicht drinnen habe..

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 27

Bei solchen Problemen geht man am besten streng mathematisch vor, sonst verläuft man sich zu leicht.

Erstmal überlegen: es ist also eine bestimmte Strecke vorgegeben, die wir aber nicht kennen.
Wir wissen lediglich, wie in welcher Zeit die Personen A und B diese zurücklegen. Da wir die Strecke nicht kennen, können wir auch keine Geschwindigkeit ausrechnen. Wir müssen also so arbeiten, dass Geschwindigkeit und Gesamtstrecke sich am Ende möglichst rauskürzen.

Ansatz:
s = v * t
Person A bezogen auf die Gesamtstrecke sg:
sg = va * 15 min
Person B:
sg = vb * 10 min
mit va * 15 min = vb * 10 min folgt:
va = vb * 10/15 = vb * 2/3

Nun setze ich t= 0 für 17.49 Uhr, wenn Person B losläuft.
Dann gilt für die von B zurückgelegte Strecke:
sb = vb * t
Für A gilt:
bei t = 0 hat A schon va * 3 min zurückgelegt und marschiert mit va * t weiter.
Seine Strecke sa beträgt dann:
sa = va * 3 min + va * t

Nun ist gefordert, das sich A und B treffen. Die Strecke bis zum Treffpunkt sei st.
Dann gilt beim Treffen : st = sa = sb
vb * t = va * 3 min + va * t
vb * t - va * t = va * 3 min
t (vb - va) = va * 3 min
t = va * 3min / (vb - va)
= vb * 2/3 * 3 min / (vb - vb * 2/3)
= vb * 2min / (1/3 vb)
= 2 * 3 min = 6 min

Nach 6 min holt Person B also Person A ein.
Da sie insgesamt 10 min unterwegs ist, verbleiben nach dem Treffen noch 4 min bis zum Ziel.

Kommentar von Serudaruu ,

Ich hatte mir das viel komplizierter ausgemalt, danke! Was ich mich aber verwirrt; was ist gemeint mit t = 0 setzen, dass 0 einfach t ist, richtig? Warum verstehe ich, aber wie das im Rechenweg einzuordnen ist sagt mir gerade nichts.

Nach "t = va * 3min / (vb - va)" komme ich ein klein wenig durcheinander, wir haben also va eingesetzt (weil eben auch am längsten unterwegs oder als erstes losgegangen, deswegen auch berechnet oder? - wäre cool zu wissen für andere Aufgaben) und wie kommt man auf die 1/3? :/

Kommentar von Hamburger02 ,

Ich kann den Nullpunkt, also wenn ich t = 0 setze, beliebig wählen. Da nimmt man das, was am bequemsten ist. Hier habe ich als Nullpunkt genommen, wenn B losläuft. Dann ist A aber schon 3 min unterwegs und hat den Vorsprung von va * 3min. Mit einem anderen Nullpunkt ginge es auch, wäre aber schwieriger zu rechnen.

Damit v insgesamt aus der Rechnung rausfällt, muss ich alle va in vb umrechnen oder umgekehrt, damit sich die v rauskürzen und nur die Faktoren übrigbleiben.  Hier habe ich überall va mit va = 2/3vb genommen, was ich oben ja schon ausgerechnet hatte. Der Rest ist Umformung.
Man hätte auch vb = 3/2 va nehmen können, um alles auf va umzustellen. Hätte das selbe Ergebnis erbracht.

Kommentar von Serudaruu ,

Super, danke! Also vb - vb = -vb × 2/3 = 2/3 vb, dann verstehe ich aber nicht wie man auf 1/3 kommt. :/

Kommentar von Hamburger02 ,

Gehts hierum? (vb - vb * 2/3)

Na wenn ich von einem Ganzen zwei Drittel abziehe, bleibt noch ein Drittel übrig.

Daher ist (vb - vb * 2/3) = 1/3 * vb

Kommentar von Serudaruu ,

Ich möchte wirklich nicht nerven und bin total dankbar für die Antworten, aber wieso muss ich ein Ganzes abziehen? :/ Die * vb dahinter ergibt sich ja indem wir vb - vb rechnen oder? Ich stelle mich sicherlich gerade nur zu doof an. :/

Kommentar von Hamburger02 ,

Also zunächst mal: Punkt- geht vor Strichrechnung. Zuerst werden 2/3 von vb gebildet und erst dann wird es von einem Ganzen vb abgezogen.

Damit müsste man (vb - vb * 2/3)

so umformen:

(vb - vb * 2/3) = 1 * vb - 2/3 *vb = vb * ( 1 - 2/3) = vb * (1/3) = vb/3

Kommentar von Serudaruu ,

Ich muss gerade total lächeln, hatte mich schon gewundert, für mich wären vb - vb = 0, ooh Mensch! Es kann so einfach sein, wenn man gründlich beachten würde! Vielen lieben Dank für all die Antworten und dass Sie sich die Zeit genommen haben, ich schätze das so sehr!

Expertenantwort
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 9

So ginge übrigens die grafische Lösung. Geht schneller, sicherer, aber nicht ganz so exakt. Oft reicht es aber, um sich selber zu überprüfen. In dem Graphen ist übrigens ein kleiner Fehler versteckt...

Antwort
von ThomasA89, 28

Nabend,

ich würde da so rangehen:

1) Die Gesamtstrecke (s)

Ich nehme für die Geschwindigkeiten das Kürzel "w" und für die Zeit "t"

Die Gesamtstrecke wird von Person A nach 15 min und von Person B nach 10 min zurückgelegt.

=> s=wA*tA=wB*tB

schon mal umstellen für später:

wA=wB*tB/tA

Werte einsetzen

wA=wB*10/15=wB*2/3

2) Gleichung für den Abstand zwischen den beiden Personen aufstellen f(t):

Person A läuft los => t*wA

Person B läuft drei min später los => (t-3)*wB

=> f(t)=t*wA-(t-3)*wB

für wA die obere Gleichung einsetzen:

f(t)=t*wB*2/3-(t-3)*wB

Nun das ganze Null setzen und nach t umstellen.(t-3)*wB=t*wB*2/3       Teilen durch wBt

-3=t*2/3

-3=t*2/3-t=-t*1/3

t=9min

Kommentar von ThomasA89 ,

bzw noch 1 min bis zum ziel

Kommentar von ThomasA89 ,

Hab die Zeiten tB und tA vertauscht sprich das sind keine 2/3 sondern 3/2

d.h. im letzten Schritt

-3=t*3/2-t=-t1/2

t=6min

oder schau am besten die andere Antwort an.

Kommentar von TomRichter ,

Und was sagt die Plausibilitätsprüfung zu einem Ergebnis, laut dem B eine Minute braucht und A für dieselbe Strecke 3 Minuten?

Ergibt sich daraus, dass A laut Aufgabe 2 Minuten nach B ankommt.

Antwort
von henzy71, 30

Ich versteh deine Rechnung nicht ganz..... was soll das mit den 60?....

Wir rechnen mal in SI-Einheiten, also Strecke in Meter, Zeiten in Sekunde

Gesamtstrecke S.

Laufgeschwindigkeit A: S/900

Laufgeschwindigkeit B: S/600

Beim Treffpunkt ist B x Sekunden gelaufen, A, drei Minuten also 180 Sekunden länger.

(x+180)*(S/900) = x (S/600)

Sx/900 + 0,2S = Sx/600

2Sx/1800 + 0,2S = 3Sx/1800

0,2S = Sx/1800

0,2 = x/1800

360 = x

Also Treffen 360 Sekunden, also 6 Minuten nachdem B losgelaufen ist. Dies ist dann um 17:49 Uhr + 6 Minuten = 17:55 Uhr

B braucht insgesamt 10 Minuten, also nach dem Treffen noch 10 - 6 = 4 Minuten.

Gruß

Henzy

Kommentar von Serudaruu ,

Könnten sie ihre Zwischenschritte beschreiben, also warum wir die Zahl mit der berechnen usw.? Das sieht super interessant aus, danke. :)

Kommentar von henzy71 ,

Ich versuche mal die Schritte zu beschreiben....

Aaaaaaaaalso....

Geschwindigkeit ist Strecke durch Zeit.... Beispiel: du fährst mit dem Auto und dein Tacho zeit 100km/h an.... Was heisst das? Das heisst, dass du in einer Stunde 100km zurück legst. In einer halben Stunde legst du 50km zurück. 50km geteilt durch eine halbe Stunde.....

Das gleiche machen wir hier: Person A braucht für eine gewisse Strecke 15 minuten, Person B braucht für die gleiche Strecke 10 minuten. 15 Minuten sind 900 Sekunden, 10 Minuten sind 600 Sekunden. Die Strecke ist unbekannt, daher nenne ich sie einfach S und rechne damit. Die Laufgeschwindigkeiten sind Strecke durch Zeit also S/900 respektive S/600.

Mal wieder zurück zum Auto mit 100km/h.... Wenn du eine bestimmte Zeit gefahren bist, legst du eine gewisse Strecke zurück.... Nehmen wir eine Viertelstunde - 15 Minuten.... Um jetzt die zurückgelegte Strecke zu bestimmen, multiplizierst du die Geschwindigkeit (100km/h) mit der Zeit (1/4 Stunde) = 25 km.... Alles klar soweit?

Das gleiche machen wir hier auch. Allerdings wissen wir nicht wie lange die beiden Läufer unterwegs sind, bis sie sich treffen. Wir wissen nur, dass Läufer A um 17:46 losgelaufen ist und Läufer B um 17:49, also drei Minuten später. Die Zeit, die Läufer B bis zum Treffen gelaufen ist nennen wir dann x. Die Zeit die A dann gelaufen ist, ist 3 Minuten länger als x, also x+3 Minuten und das ist gleich x+180 sekunden.

Die Strecke die Läufer B bis dahin gelaufen ist, ist seine Geschwindigkeit multipliziert mit der gelaufenen Zeit.

Die bis zum Treffen von B zurückgelegte Strecke ist dann seine Geschwindigkeit S/600 multipliziert mit der Zeit die er gelaufen ist: x. Die Strecke ist dann S/600 * x = Sx/600

Das lassen wir so stehen und machen das Gleiche, für Läufer A

Seine Geschwindigkeit ist S/900 und seine Zeit ist x+180.

Daher ist seine Strecke bis zum Treffen Geschwindigkeit * Zeit, also

S/900 * (x + 180)

Das ist : Sx/900 + 180S/900 = Sx/900 + 0.2S

Natürlich haben A und B beim Treffen die gleiche Strecke zurückgelegt. Daher können wir die beiden Strecken gleichsetzen:

Sx/600 = Sx/900 + 0.2S

wenn wir dies ausrechnen wollen, macht es Sinn, die Brüche gleichnamig zu machen. Der gleichnamige Nenner von 600 und 900 ist 1800.

Sx/600 => Zähler und Nenner * 3 ---> 3Sx/1800

Sx/900 => Zähler und Nenner * 2 ----> 2Sx/1800

Also gilt:

3Sx/1800 = 2Sx/1800 + 0.2S

jetzt auf beiden Seiten - 2Sx/1800

3Sx/1800 - 2Sx/1800 = 2Sx/1800 - 2Sx/1800 + 0.2S

Sx/1800 = 0.2S

Auf beiden Seiten teilen durch S

(Sx/1800)/S = 0.2S/S

x/1800 = 0.2

Auf beiden Seiten mit 1800 multiplizieren

x = 360

Das sind dann 360 Sekunden (oder anders gesagt: 6 Minuten), die B gelaufen ist.

Da B für die gesamte Strecke 10 Minuten braucht, braucht er nach dem Treffen noch 10-6=4 Minuten....

So......das war jetzt jeder Schritt nochmal erklärt. Falls du noch Fragen hast, kannst du gerne Kommentieren, aber gib bitte an, welchen Schritt oder oder welche Schritte konkret du nicht verstehst.

Gruß

Henzy

Kommentar von Serudaruu ,

Danke für den ganzen Aufwand, dann war es doch so wie ich es mir zum größten Teil erschließen konnte, aber die 0,2S verwirren mich, müssten das nicht x sein? :/

Kommentar von henzy71 ,

Nein. Du musst diese Klammer auflösen:

S/900 * (x + 180)

Das ist S/900 * x + S/900 * 180

also Sx/900 + 180S/900

also Sx/900 + 0.2S (weil 180/900 = 0.2)

Kommentar von Serudaruu ,

Ach jetzt begreife ich das, vielen lieben Danke. :)

Kommentar von Serudaruu ,

Dank*

Kommentar von henzy71 ,

Schön, dass ich helfen konnte. Gern geschehen.

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