Frage von Niklasdel, 42

Wie geht die Herleitung der Formel des Binominalkoeffizienten?

Hallo

Wir haben bis morgen im Mathe Leistungskurs die Hausaufgabe sich über die Herleitung der Formel für den Binominalkoeffizienten Gedanken zu machen und wie man auf die Formel kommt (Formel: http://www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/binomialkoeffizient.jpg)

Nun habe ich im Netz unzählige Erklärungen gesehen, wie man mit dieser Formel rechent und sonst etwas macht, aber ich habe keine Erklärung gefunden, wie man auf diese Formel kommt.

Es ist gut möglich, dass wir darüber morgen eine Test schreiben und ich möchte den nur ungern verhauen.

Ich hoffe mir kann jemand bei meinem Problem helfen.

Ps: Ich habe schon rumüberlegt wie man darauf kommen könnte, komme aber nicht weiter

Danke

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 18

Um k Elemente aus einer Menge von n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge anzuordnen gibt es
(n über k)=n!/((n-k)!k!) Möglichkeiten.

Erklärung:
Um n Elemente (mit Beachtung der Reihenfolge) anzuordnen gibt es n*(n-1)*(n-2)*...*1=n! Möglichkeiten.
Da aber nur k Elemente angeordnet werden sollen, gibt es n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) Möglichkeiten, d. h. die Faktoren (n-k)*(n-k-1)*(n-k-2)*...*1=(n-k)!  sind zuviel. D. h. es bleibt n!/(n-k)! übrig (unter Beachtung der Reihenfolge).

Um k Elemente anzuordnen gibt es k! Möglichkeiten, da die Reihenfolge keine Rolle spielt, muß durch diese Anzahl noch geteilt werden, also n!/((n-k)!k!)

Kommentar von Niklasdel ,

OK
Danke

Ich habe jetzt hier die Formel

(n+k-1)!/k!*(n-1)!

wie kommt man dann da drauf?
Also halt auch auf genau diese Zusammensetzung der Werte mit den Vorzeichen
Dann steig ich noch nicht voll durch
Danke

Kommentar von Rhenane ,

(n über k)=n!/(k!(n-k)!)
(n+k-1 über k)=(n+k-1)!/(k!(n+k-1-k)!)=(n+k-1)!/(k!(n-1)!)

Antwort
von Schachpapa, 28

Der Binomialkoeffizent ist erstmal nur eine Definition.

Er tritt aber in verschiedenen Zusammenhängen auf

Brauchst du jetzt die Herleitung, dass man damit die "Anzahl der r-Auswahlen aus n Elementen ohne Wiederholungen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge " zählen kann?

Kommentar von Niklasdel ,

Ja genau
die Herleitung für die Formel, die ich oben verlinkt habe

Antwort
von Schachpapa, 17

Fur das 1.Element gibt es n Möglichkeiten, mal (n-1) fur das 2. Element, mal (n-2) usw., D.h bei r Elementen r Faktoren. Diese Anzahl teilst du durch die Anzahl der Möglichkeiten r Elemente anzuordnen, also durch r!

Den Zähler kannst du auch als n!/(n-r)! darstellen, also insgesamt n!/(n-r)!/r!

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten