Wie gehe ich diese Rechnung an. Es geht dabei um Vektoren im 3 dimensionalen Raum. Kann mir jemand helfen?

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4 Antworten

Hallo,

alle Punkte, die von P1 und P2 den gleichen Abstand haben, liegen auf einer Ebene, deren Richtungsvektoren senkrecht auf der Geraden stehen, die durch P1 und P2 geht und die durch den Mittelpunkt zwischen P1 und P2 geht.

Die Gerade bestimmst Du, indem Du (3/2/1)-(-1/-2/-3) rechnest: (4/4/4).

Das ist der Richtungsvektor. Als Aufpunktvektor nimmst Du einen der beiden Punkte, z.B. (3/2/1):

g: (3/2/1)+r*(4/4/4)

Die Mitte zwischen P1 und P2 liegt bei 0,5*[(3/2/1)+(-1/-2/-3)=(2/0/-1).

Hier hast Du einen Punkt, durch den die gesuchte Ebene geht.

Für die Richtungsvektoren muß gelten: (4/4/4)*(x/y/z)=0.

Dies ist z.B. für (4/-4/0) und (4/0/-4) erfüllt, die linear unabhängig sind und somit als Richtungsvektoren infrage kommen.

So lautet die Ebenengleichung:

E: (2/0/-1)+s*((4/-4/0)+t*(4/0/-4).

Alle Punkte auf dieser Ebene haben zu P1 und P2 jeweils den gleichen Abstand, jedenfalls dem Betrag nach.

Wenn Du das Kreuzprodukt zu den beiden Richtungsvektoren bildest, ergibt das (16/16/16), was durch 4 geteilt wieder (4/4/4), den Richtungsvektor der Geraden ergibt, womit erwiesen ist, daß beide Vektoren senkrecht auf der Geraden stehen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von DonavonBear
28.12.2015, 11:12

Dir auch vielen Dank Willy :)!!!

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  Noch einfacher als meine Kollegen. Stell dir mal vor, du hast eine Schar paralleler Ebenen

    E  (  x  ;  y  ;  z  )  :=  a  x  +  b  y  +  c  z  =  k  =  const     (  1a  )

   Aus Erdkäs weißt du, dass der ===> Gradient die Richtung des steilsten Anstiegs angibt und auf einer Schar von Niveaulinien bzw. -flächen senkrecht steht. Ferner ist der Gradient von ( 1a ) der Vektor der Teilableitungen:

    [  ( dE/dx )  |  ( dE/dy  )  |  ( dE/dz )  ]  =  (  a  |  b  |  c  )     (  1b  )

   ( 1b ) besagt doch: Wenn ich irgendwoher den Gradienten habe, brauche ich seine Komponenten nur abschreiben. Und schwupps habe ich die Schargleichung der Ebenen.

   Gesucht: Die mittelsenkrechte ( Ebene ) E0 zwischen P1 und P2 . Zusätzlich denke ich mir jetzt eine Schar zu E0 paralleler Ebenen E ; da der Vektor ( P2 - P1 ) ja senkrecht steht auf allen E , handelt es sich um den gesuchten Gradienten. Aus deinen Zahlenwerten

   P2  -  P1  =  grad  (  E  )  =  (  4  |  4  |  4  )  =  (  1  |  1  |  1  )      (  2a  )

   Einen Richtungsvektor darf man normieren; das wisst ihr. Und jetzt die ganzen Komponenten übertragen

   E  (  x  ;  y  ;  z  )  =  x  +  y  +  z  =  k  =  const      (  2b  )

   In ( 2b ) siehst du es nochmal ganz deutlich; hätten wir uns mit diesem ggt = 4 geschleppt, wäre der doch bloß von dieser Konstante k absorbiert worden. Doch woher schnitzen wir uns k? Offenbar muss P0 auf E0 liegen, d.i. das aritmetische Mittel aus P1 und P2 .

   P0  :=  1/2  (  P1  +  P2  )  =  (  1  |  0  |  -  1  )     (  2c  )

   ( 2c ) einfüttern in ( 2b )  ===>  k = 0

   Du fragtest mich; wie gehe ich vor? Hier das sind klare Anweisungen für den Spickzettel.

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Kommentar von DonavonBear
28.12.2015, 11:11

Vielen Dank  gilgamesch4711!!!!!!! :)

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Verbindungsstrecke von P1 zu P2 bilden, was eine geradengleichung im R^3 ist. Dann eine Ebenengleichung normal zu der Verbindungsstrecke aufstellen, mit Abstand 1/2 Betrag der Verbindungsstrecke.

Alle Punkte auf der Ebene haben den selben Abstand zu P1 wie zu P2 

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Kommentar von DonavonBear
27.12.2015, 12:37

Danke :)...ich versuchs!

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3 Unbekannte in einer Gleichung ...irgendwas kann doch da nicht stimmen...:D

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