Frage von mathe5, 94

Wie gehe ich bei diesen Aufgaben vor?

Antwort
von Orsovai, 53

Wenn eine solche Matrix B existiert, dann ist A invertierbar (=regulär). Kennst Du eine Bedingung wann eine Matrix invertierbar ist?

Wenn Du ein solches Inverses von A hast, dann ist das eindeutig, den R^2x2 mit der Multiplikation bildet eine nichtabelsche Gruppe. Wie zeigt man Eindeutigkeit?

Kommentar von mathe5 ,

was ist denn genau eine nichtabelsche Gruppe ?

Kommentar von Orsovai ,

Eine Menge, mit einer Verknüpfung (zB Mal oder Plus), für die gilt:

-es gibt ein neutrales Element (in Deinem Fall die Einheitsmatrix)
-jedes Element hat ein Inverses (Element verknüpft mit Inversem =Neutrales Element)
-Es gilt das Assoziativgesetzt

Man kann dann zeigen, dass in einer solche Gruppe ein Inverses immer eindeutig ist.

Kommentar von mathe5 ,

Kann das stimmen ?
AxB=E
A−1xAxB=A−1xE
B=A−1xE

Einstzen: B= ad-bc x(10)
                                 (01)

Antwort
von Roach5, 41

1. Definiere die Determinante als det(A) = ad - bc. Zeige zuerst per Hand, dass gilt: det(A)det(B) = det(AB). Die Matrix mit 1 in der Diagonale nennen wir aus Schreibweisezwecken wirklich 1, und es folgt: det(1) = 1. Wenn es eine Matrix B gibt, sodass AB = 1, dann nennt man B das Inverse von A, es folgt automatisch det(B) = 1/(det(A)). Für Invertierbarkeit ist also det(A) =/= 0 notwendig. Dass es hinreichend ist, zeigst du, indem du ein explizites inverses angibst, das überlasse ich dir als Übung. Tip: 1/(ad - bc) ist in jedem Eintrag enthalten.

2. Nenn die Einheitsvektoren a, b und c, also a = (1,0,0), b = (0,1,0), c = (0,0,1). Zeige erst durch Linearität, dass die Abbildung bereits durch f(a), f(b) und f(c) eindeutig bestimmt ist. Zeige dann das Distributivgesetz bei der Multiplikation von Matrizen mit Vektoren: A(x + y) = Ax + Ay. Der Rest folgt automatisch, die Matrix anzugeben schaffst du ab da alleine.

LG

Kommentar von mathe5 ,

Zur 1: Kann das stimmen ?
AxB=E
A−1xAxB=A−1xE
B=A−1xE

Einstzen: B= ad-bc x(10)
                                  (01)

Kommentar von Roach5 ,

Dafür würde ich als Tutor 0 Punkte geben. Was willst du denn genau zeigen, wo ist der Plan und wo ist die präzise Rechnung? Die 1 besteht ja aus drei Teilaufgaben, nämlich:

a) Invertierbarkeitskriterium: z.B. det(A) =/= 0,

b) Explizite angabe eines Inversen,

c) Beweis der Eindeutigkeit des Inversen.

Was wären in allen drei Teilaufgaben deine Ansätze? Wenn du bei jeder dieser Aufgaben zumindest einen Plan hast, kann man dir helfen, sonst läuft man ja einfach nur im Kreis.

Kommentar von Roach5 ,

Meine Ansätze wären z.B.

a) Wie ich bereits in die Antwort geschrieben habe, folgt die Hin-richtung aus der Linearität. Die Rück-richtung folgt aus der b), weil dort det(A) =/= 0 bei der Konstruktion des Inversen verwendet wird.

b) Stumpfes Lösen eines Gleichungssystems. Wichtig ist hier, anzumerken, wo du det(A) =/= 0 benutzt (Spoiler: Wenn du die gesamte Matrix am Ende durch ad - bc teilst).

c) Nimm an, du hättest zwei Inverse, nämlich B und B', sodass AB = AB' = 1. Zeige, dass B = B' durch stumpfes Rumrechnen.

Kommentar von mathe5 ,

Tut mir  leid aber irgendwie ist mir das Ganze trotzdem nicht schlüssig. ist es möglich mir das mit einem konkreten Beispiel anzugeben ?

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