Frage von poisl2, 103

Wie funktioniert ein Beweis in der Mathematik?

Ich habe schon oft gehört, dass man im Mathematik-Studium viele Aussagen beweist, z. B. dass es natürliche Zahlen gibt. Kann mir jemand - weil ich mich irgendwie dafür interessiere - vielleicht erklären, wie solche Beweise aufgebaut sind? Dankeschön im Vorraus.

Antwort
von FelixFoxx, 65

Beweise gibt es wie Sand am Meer in der Mathematik. Zugrunde liegt, dass man eine neue Aussage anhand von schon bewiesenen Aussagen und Axiomen als richtig erkennt.

Beispiele für Standardbeweise aus dem ersten Semester sind die Beweise durch vollständige Induktion. Hier wird eine Aussage für einen Anfangswert als richtig gedeutet, dann angenommen, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen n gelte und gezeigt, dass es dann auch für n+1 gilt.

Manchmal nimmt man auch an, dass die Aussage falsch sei und sucht dann einen Widerspruch. Beispiel: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Nehmen wir an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Dann können wir das Produkt aller Primzahlen bilden und Eins dazu addieren. Das Ergebnis ist aber durch keine der endlich vielen Primzahlen teilbar, es hat immer den Rest 1. Damit ist es eine weitere Primzahl und es entsteht ein Widerspruch zur Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gäbe. Es gibt also unendlich viele Primzahlen.

Kommentar von poisl2 ,

Dankeschön ;-)

Antwort
von Roach5, 14

In der Mathematik ist ein Beweis eine Anwendung bereits erkannter logischer Aussagen, um eine neue logische Aussage zu formen. Wir wissen also einige Dinge und kombinieren diese, um etwas neues zu wissen. Die erste Frage ist dann "Was ist der erste Beweis und worauf ist dieser aufgebaut?". Das macht die Mathematik mittels Axiomen, die "offensichtlich" sind und als universelle Wahrheit angenommen werden. Beispiele hierfür sind das Prinzip "Tertium non datur": Es gibt kein Drittes, eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, oder die Peano-Axiome, aus denen die natürlichen Zahlen konstruiert werden (insofern gibt es keinen "Beweis" für die Existenz der natürlichen Zahlen).

Es gibt nicht viele Beweise, die jemand ohne mathematischen Hintergrund sofort verstehen würde, deshalb verzeihe mir, wenn ich eine Mücke mit einer Atombombe töten muss. Dieser Ausdruck ist in der Mathematik stark verbreitet und bezeichnet das Lösen eines einfachen Problems mit viel zu starken Mitteln (Proof by nuke).

Satz: Für n>2 ist die n-te Wurzel von 2 irrational.

Beweis durch Widerspruch: Angenommen, eine n-te Wurzel von 2 sei rational, mit n > 2.

Also sei a^n/b^n = 2, bzw. a^n = 2b^n, wir trennen und bekommen:

a^n = b^n + b^n, eine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung würde allerdings dem großen Fermatschen Satz widersprechen. qed

Falls du diesen nicht kennst, er verbietet ganzzahlige Lösungen der Gleichung a^n + b^n = c^n, wenn n > 2 und a, b, c alle ungleich 0. Eine Atombombe deswegen, da der große Fermatsche Satz einige Hundert Jahre unbewiesen blieb, wobei die Irrationalität der n-ten Wurzeln von 2 mit antiken Mitteln bewiesen werden kann.

LG

Antwort
von PeterKremsner, 54

Naja die Natürlichen Zahlen sind Axiomatisch festgelegt und sind daher nicht zu beweisen.

Ein Beweis ist aber in der  Regel einfach ein Vorgehen um zu zeigen dass etwas nicht nur für eine Zahl sondern für eine ganze Menge von Zahlen (meistens unendlich viele) gilt.

Eine einfache Methode eine Vermutung für alle natürlichen Zahlen zu beweisen ist die Vollständige Induktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Es geht aber auch zB bei den Rationalen Funktionen und zwar kann man behaupten die Funktion f(x) = 1/x ist für alle 100 > x > 1 beschränkt.

Beweisen kann man das im Endeffekt durch bestimmte Eigenschaften der Funktion, diese müssen aber wenn man es vollständige machen will auch noch hergeleitet werden.

Wir wissen jetzt aber 1/x ist stetig und monoton fallend auf dem Intervall [1,100].

Wenn man jetzt im Vorfeld bewiesen hat, dass eine stetige und monotone Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall beschränkt ist, dann weiß man auch dass 1/x beschränkt ist und der beweis ist vollbracht.

Ausgehend von dem Beweis kann man mit dem Grenzwert auch den Beweis machen, dass das auch auf dem Intervall [1,unendlich) gilt usw.

Antwort
von Aleksakisu, 47

Ein Beweis wird immer nach einem bestimmten Schema aufgebaut.

Behauptung: Hier schreibst du die Aussage auf, die du beweisen möchtest.

Zu zeigen: Hier schreibst du auf, welche Sachverhalte erfüllt sein müssen, damit die Behauptung gilt.

Beweis: Hier kombinierst du bekannte Sachverhalte und ziehst logische Schlüsse aus ihnen, sodass die Sachverhalte aus "Zu zeigen" bewiesen werden. Dieser Teil schließt meistens mit der Abkürzung q.e.d. (Latein quod erat demonstrandum, Deutsch "was zu beweisen war"). Damit gilt die Aussage als bewiesen.

War es das, was du mit deiner Frage meintest, oder wolltest du eher wissen, wie so ein Beweis konkret aussehen kann? Dann frag ruhig nochmal nach :)

Kommentar von poisl2 ,

Habt ihr einen Beweis da? ;-) Ich finde es durchaus interessant, z. B. die Existenz natürlicher Zahlen zu beweisen.

Kommentar von Aleksakisu ,

Ich kann kurz einen raussuchen, Moment ^^

Kommentar von Aleksakisu ,

Also, zu solchen Sachen wie der Existenz der natürlich Zahlen kann ich dir jetzt keinen Beweis liefern (ich glaube, da gibt es auch gar keinen. Die werden nämlich nicht bewiesen, sondern konstruiert). Eigentlich wollte ich dir jetzt stattdessen einen schönen Beweis aus meiner zweiten Vorlesungswoche abtippen, den ich auf die Schnelle gefunden habe, aber ich musste gerade feststellen, dass ich viele wichtige mathematische Zeichen nicht am Computer tippen kann... Darum ging das nicht so wie gedacht. Außerdem muss ich gleich weg... Wenn du möchtest, kannst du mir eine Freundschaftsanfrage schicken und wir können später in Ruhe per Privatnachricht weiterschreiben. Oder vielleicht hat noch jemand anderes einen schönen Beweis für dich :)

Kommentar von poisl2 ,

Dankeschön ;-)

Antwort
von lks72, 32

Schau dir doch einfach einige Beweise zum Satz des Pythagoras an. Für diesen Satz gibt es bestimmt um die 400 Beweise. Beim Durchgehen und Verstehen dieser Beweise lernst du , weil sie ja alle unterschiedlich sind, sehr viel über Mathematik.

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