Frage von Luk97, 13

Wie funktioniert diese trigonometrische Funktion?

Hallo, könnte jemand mir vielleicht bei dieser Aufgabe behilflich sein?

Sie sieht eigentlich noch einfach aus.

Müsste eine komplette Kurvendiskussion machen, aber wenn mir jemand schon den Weg zu der Lösung der Nullpunkte sagen könnte, wäre dies hilfreich.

f(x): sin(x) + cos(x)

Grüsse Lukas

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 7

Die Funktion kann man umwandeln in y=A * sin(x +b) ,weil es sich hier um 2 sich drehende Vektoren handelt und senkrecht aufeinander stehen a=pie/2=90°

es gilt f(x)= C1 *sin(x) + C2 *cos(x) hier ermittelt man A= (C2^2+C1^2)^0,5

ergibt A= Wurzel 2= 1,41421

tan(b)=C2/C1 ergibt b = arc tan(1/1) =0,7854

also ist die resultierende Funktion  y= 1,41421 * sin(x + 0,7854)

Nulltellen bei y=sin(x) bei x=K * pie für K= 0,1,2,3,0 ...

also Nullstelle bei x +0,7854 = pie x=2,356 und so weiter mit K=2,3, ...

Maximum bei x=pie/2 also x+0,7854 = pie /2 ergibt x=0,7854 und y= 2^0,5

Minimum bei x=3/4 * pie ergibt  x+0,7854= 3/4 *pie ergibt x=3,527 y= - (2)^0,5

HINWIS : Der resultierende Vektor kann in jeden Quadraten des Einheitskreises liegen und tan (a)=C2/C1 gibt immer nur den Winkel zwischen den Vektor und der x-Achse an.Rechner auf rad einstellen.

Vektor liegt in 2 Quadraten  b= a + pie hier ist C1 = negativ

vektor liegt im 3 Quadranten b=a +pie hier ist C1=negativ und C2= negative

Vektor liegt im 4 Quadraten C2=negative und C1=positiv ergibt b=negativ

MERKE :Liegt der resultierende Vektor in den 2 und 3 Quadranten,muss man zu den Winkel tan(a)=C2/C1 pie addieren . also b=a + pie

Die Gleichungen A=(C1^2 +C2^2)^0,5 und tan(a)=C2/C1 kann man am Einheitskreis herleiten oder über die Additionstheoreme

sin(a +b)=sin(a) *cos(b) +/- cos(a) * sin(b)

siehe Mathe-Formelbuch,was man in jeden Buchladen sich privat besorgen kann.

Außerdem brauchst du noch einen Graphikrechener (Casio).Damit kannst du jede Aufgabe rechnen und die Dinger verrechnen sich nie !!Der Schwirigkeitsgrad spielt dabei keine Rolle mehr. 

Antwort
von PeterKremsner, 13

sin(x) + cos(x) = 0

sin(x) = - cos(x)

Jetzt musst du einen Punkt finden wo das stimmt.

Die Gleichung ist erfüllt für -pi/4, denn bei pi/4 gilt:

cos(pi/4) = sin(pi/4) das - kommt daher weil der Sinus bei -pi/4 das vorzeichen wechselt der Cosinus aber nicht.

also eine Nullstelle ist bei -pi/4

Da die Funktionen jetzt selbst in pi periodisch sind muss der selbe Zustand auch auftreten wenn man ganzzahlige vielfache von pi dazuaddiert.

Somit ergebn sich die Nullstellen zu n*pi - pi/4.

Antwort
von ProfFrink, 6

Es besteht die Möglichkeit, dass Du ein Additionstheorem verwendest. Du findest alle wichtigen Additionstheoreme hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme

In Deinen Fall ist folgendes Theorem hilfreich:

sin(x) + cos(x) = sqrt(2)*sin(x + pi/4)

Dieses wird jetzt mit Null gleichgesetzt:

sqrt(2)*sin(x + pi/4) = 0

Nun weiss man, dass die Sinusfunktion ihre Nullstellen an ganzen Vielfachen der Zahl pi hat. Man formuliert folglich eine Aussage für das Argument der Sinusfunktion:

x + pi/4 = n*pi        mit  n = ...-2,-1, 0, 1, 2 ,3 ,...

Nun wird nach x aufgelöst:

x = n*pi - pi/4  = pi*(n-1/4) 

Du erhälts eine unendliche Folge von Nullstellen

x = -5*pi/4 , -pi/4 , 3*pi/4 , 7*pi/4

Und wenn Du lieber in Grad rechnest, dann erhälst Du die Werte 135° und 315°

Antwort
von bishare, 13

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Du setzt f(x) = 0 , teilst die Gelcihung durch cos(x), kriegst 0 = tan(x) + 1 raus, stellst um und nimmst den arctan (tan^-1) und dann hast du deine NST

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