Frage von BatmanZer, 124

Wie funktioniert Ableiten jetzt genau?

Hallo, also ich habe so ein schönes Physikbuch von meinem Onkel bekommen (Vom Universum zu den Elementarteilchen). Leider bin ich aber erst in der 9.Klasse und dementsprechend fehlen mir allerlei mathematische Grundkenntnisse, darunter auch das Ableiten. Ich habe mir eben ein Video von TheSimpleMaths angeguckt und dort heißt es, dass man die Hochzahl vorholen und im eins verringern soll. Z.B 2x^2 -> 2*2x^2-1 -> 4x . Eben wurde mir gesagt, dass å, die erste Ableitung der Zeit und ä die zweite sei.

Im Buch heißt es jetzt aber å=da/dt ; ä=d^2a/dt^2.

ä wäre die zweite Ableiten, bzw. die von å. Wenn man aber die Regeln anwendet:

å=da/dt = da^1/dt^1 -> 1da^1-1/1dt^1-1 -> da^0/dt^0. Das ergibt aber überhaupt keinen Sinn. Wie komm man jetzt also von da/dt auf d^2a/dt^2 ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Australia23, 49

Die Ableitung bestimmt dir ja sozusagen die "Steigungsfunktion" einer Funktion. Also die Steigung in jedem Punkt einer Funktion. Hast du eine Gerade, berechnet sich die Steigung durch (y2-y1)/(x1-x2).

Also z.B.: y=f(x)=2x -> P1=(0,0), P2=(1,2) -> Steigung = (2-0)/(1-0) = 2

Hast du nun etwas anderes als eine Gerade ist es "etwas komplizierter", aber von der Idee her ganz ähnlich und daher kommt auch die Notation: Steigung = dy/dx. Diesen Term kannst du also nicht einfach als einen "ganz normalen" Bruch betrachten (auch wenn man ihn in gewissen Fällen so behandeln kann).

Statt y (oder eine andere Variable) verwendet man nun das f (also die Bezeichnung der Funktion), da y=f(y) -> df/dx = Steigung der Funktion f nach x.

"å=da/dt ; ä=d^2a/dt^2"

Hierbei hantelt es sich bloss um eine andere Notation. Also å bedeutet dasselbe wie da/dt und ä dasselbe wie d^2a/dt^2. 

Jedoch ist die Notation in der Form von "da/dt" etc. fix definiert und "å" ist wohl eher ein allgemeine "Übereinkunft", vor allem in der Physik (soweit ich weiss). Daher wurde dies hier wohl noch erwähnt, damit später davon ausgegangen werden kann, dass die Bedeutung für alle klar ist.

Hier ist a eine Funktion von t: a(t)

da/dt = d a(t) / dt

Also die Funktion a(t) nach t abgeleitet. Willst du nun da/dt nochmals ableiten, ist da/dt sozusagen deine neue Funktion. also a'(t)=da/dt. Nun leitest du a'(t) nach t ab:

d a'(t) / dt = d (da/dt) / dt = d^2 a / d^2 t^2
=> Notation: d^2 a / d t^2 = 2. Ableitung von a(t) nach t

Bsp.: f(x)=x^2+1

df/dx = 2x
d^2f/dx^2 = [2x] ' = 2

Notation: [ ... ] ' -> 1. Ableitung von dem in der Klammern

Falls etwas nicht verständlich war, bitte frage nach :)

Kommentar von BatmanZer ,

Sehr schön erklärt, Danke. Eine Frage hätte ich aber. " d^2 a / d^2 t^2 => Notation: d^2 a / d t^2 = 2. " Wieso wird aus d^2 gleich d, aber aus t^2 nicht gleich t ?

Kommentar von FuHuFu ,

d^2/dt^2 bezeichnet die 2. Ableitung

Beispiel:

Wenn s der Weg ist. Dann ist die Geschwindigkeit v die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. Die Physiker schreiben dafür

v = ds/dt

Die Beschleunigung a ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, also die 2. Ableitung des Weges nach der Zeit. In Physikerschreibweise:

a = dv/dt = d^2s/dt^2

In der Mafthematik ist eher die Schreibweise mit dem Strich oben üblich.

Die Physiker schreiben df(x)/dx. Die Mathematiker schreiben eher f f ' (x) 

Kommentar von Australia23 ,

"Die Mathematiker schreiben eher f f ' (x)"

Wohl ein Tippfehler: Nicht "f f ' (x)" sondern "f ' (x)" ist üblich.

Eine weitere Notation wäre auch f_x (f *tief* x, also mit einem kleinen tiefgestellten x).

Aber dies sind wie gesagt (meines Wissens nach) bloss allgemeine "Übereinkünfte", die klar definierte Version ist in der Form "df/dx".

Kommentar von Australia23 ,

Gerne :)

d^2 ist ja nicht = d, es wird einfach so "gekürzt", da Mathematiker faul sind ^^

Aber diese "Kürzung" ist auch nur möglich, weil dabei keine Informationen verloren gehen und die Bedeutung immer noch eindeutig ist.

Eine weiter "Kürzung" zu "dt" ist nicht möglich, da die Formulierung "d^2 a/dt" nicht mehr eindeutig wäre (wenn man dt hier als d^2t^2 bzw. dt^2 verstehen sollte) bzw. sie ergibt keinen Sinn:

d^2 a/dt = d (da/dt) = " d (1. Ableitung von a(t) nach t) " -> ?

Das "d" so "alleinstehend" sagt nichts aus, es könnte höchstens eine Konstante sein, also d(da/dt)=d*da/dt, was aber nicht das ist, was du erreichen wolltest.

Kommentar von SlowPhil ,

Eine Frage hätte ich aber. "d²a / d² t² ⇒ d² a / d t² = 2. " Wieso wird aus d² gleich d, aber aus t² nicht gleich t ?

Das ist gar nicht so. Der Ausdruck dt ist nicht als d·t zu verstehen, sondern dt gehört wie Δt zusammen und bezeichnet eine t- Differenz. Dementsprechend bedeutet dt² dasselbe wie (dt)², was sich nichtstandardmäßig als Quadrat einer unendlich kleinen t-Differenz verstehen lässt. Standardmäßig ist es nicht wohldefiniert.

Jetzt wirst Du mit gutem Grund fragen, wieso dann das d im Zähler allein stehen und für sich differenziert werden kann.

Nun, das d² allein ist kein wohldefinierter Ausdruck, wohl aber der Ausdruck

d²/dt²,

der nämlich ein linearer Operator ist, ein Ausdruck, der alles unmittelbar rechts von ihm stehende 2 Mal nach der Zeit ableitet.

Kommentar von Australia23 ,

Eine Frage hätte ich aber. "d²a / d² t² ⇒ d² a / d t² = 2. " Wieso wird aus d² gleich d, aber aus t² nicht gleich t ?

Das ist gar nicht so.

Die Frage bezog sich auf die Notation:

Wieso schreibt man für "d²a / d² t²" nur "d² a / d t²" und nicht "d² a / d t" ?

Für den 1. Schritt (d²a / d² t² -> d² a / d t²): Dem ist doch so.

Die Begründung "da Mathematiker faul sind", kommt nicht von mir, sondern von einem Dozenten ^^

Kommentar von Australia23 ,

Ist mir erst jetzt aufgefallen: Du zitierst "d^2 a / d^2 t^2 => Notation: d^2 a / d t^2 = 2."

Ich habe geschrieben: "Notation: d^2 a / d t^2 = 2. Ableitung von a(t) nach t"

Falls du das Misservertanden hast: "2." sollte "zweite" heissen: d^2a/dt^2 = die zweite Ableitung von a(t) nach t

Kommentar von Australia23 ,

Sehe gerade, dass sich da noch ein Fehler eingeschlichen hat: 

Statt y (oder eine andere Variable) verwendet man nun das f (also die Bezeichnung der Funktion), da y=f(y) -> df/dx = Steigung der Funktion f nach x.

Sollte "da y=f(x)" heissen.

Kommentar von SlowPhil ,

Ich mach' meine Antwort jetzt doch zum Kommentar:

Ich habe mir eben ein Video von TheSimpleMaths angeguckt und dort heißt es, dass man die Hochzahl vorholen und im eins verringern soll, z.B.…

(1) f(x) = 2·x²    ⇒    f′(x) = 2·2·x²⁻¹ = 4·x

Ich habe mir erlaubt, die Ausdrücke besser lesebar zu notieren. Das kann man herleiten, was ich unten tun werde.

Wenn man aber die Regeln anwendet:

å=da/dt = da^1/dt^1 -> 1da^1-1/1dt^1-1 -> da^0/dt^0.

Wenn Du keine Zahlen hochstellen kannst, setze bitte Klammern:

a^1-1 → a^{1–1}.

Auch hier schreibe ich etwas um:

ȧ= da/dt = da¹/dt¹ ⇒ 1·da¹⁻¹/(1·dt¹⁻¹) = da⁰/dt⁰.

…Das ergibt aber überhaupt keinen Sinn.

Tut es auch nicht. Der Ausdruck da/dt ist ein Ausdruck, darauf ist die Regel nicht zugeschnitten, sondern auf eine Potenzfunktion, also eine Funktion der Form

(2.1) f(x) = xⁿ    bzw.    a(t) = tⁿ

anwendbar, deren Ableitung lautet dann nämlich

(2.2) f′(x) = df(x)/dx = n·xⁿ⁻¹    bzw.    ȧ(t) = da(t)/dt = n·tⁿ⁻¹

Das kann man, wie gesagt, herleiten (ich mach das mal, weil Du's bist, mit a(t)):

Es ist

(3) da(t)/dt := lim_[Δt→0] Δa/Δt
                  := lim_[Δt→0] { a(t+Δt) – a(t) }/Δt,

und jetzt ist die »Kunst« die, einen durch Δt kürzbaren Ausdruck hinzubekommen. Im Falle von (2.1) geht das auch immer:

(4) ȧ(t) = lim_[Δt→0] { (t+Δt)ⁿ – tⁿ }/Δt
            = lim_[Δt→0] { (t + n·tⁿ⁻¹Δt + O.(Δt²) – tⁿ }/Δt
            = lim_[Δt→0] { n·tⁿ⁻¹Δt + O(Δt²)  }/Δt
            = n·tⁿ⁻¹Δt/Δt
            = n·tⁿ⁻¹,

denn O(Δt²) »Ordnung Δt²« bedeutet, das heißt, dieser Ausdruck enthält alle Terme, in der Δt in mindestens zweiter Potenz auftritt. Es ist

(5.1) (t+Δt)ⁿ = ∑_[k = 0]^{n}  (n | k)  tⁿ⁻ᵏ(Δt)ᵏ

wobei (n | k) normalerweise übereinander geschrieben wird (ohne Strich dazwischen), Binomialkoeffizient heißt und durch

(5.2) (n | k) = n!/(n–k)!k! = {n·(n–1)·…·(n–k+1)} /{1·2·…·k}

gegeben ist. Generell ist (n | 0) = (n | n) = 1 und (n | 1) = (n | n–1) = n.

Obwohl die Binomialkoeffizienten bei großen n ziemlich groß werden können, spielen sie im Limes Δt → 0 keine Rolle mehr. So ist n·tⁿ⁻¹Δt der größte Term, der übrigbleibt.

Kommentar von Australia23 ,

Hast du nun etwas anderes als eine Gerade ist es "etwas komplizierter", aber von der Idee her ganz ähnlich (...)

Nun hast du mein "etwas komplizierter" erklärt, dankeschön ^^

Ich bin hier davon ausgegangen, dass es für den Fragesteller ev. noch etwas zu tief geht (habe ihm zu einer späteren Frage dann doch mal ein Video in diese Richtung empfohlen).

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

In der Schule schreibt man die Ableitung meist in 2 Zeilen. Die Differentialschreibweise wird dann mal erwähnt und danach meistens nicht benutzt.
Auch die Ableitung mit einem Punkt zu bezeichnen, kommt eher seltener vor. Sie ist auch nur bei der Zeit t üblich oder bei der Winkelgeschwindigkeit.

Im einfachen Fall einer Potenz sieht die Funktion so aus:   f(x) = xⁿ

Dann gilt die von dir erwähnte Regel:                                f '(x)  = n * xⁿ⁻¹

Oder für die 2. Ableitung:                                                   f ''(x) = n (n-1) xⁿ⁻²
usw. 

Man braucht für die Darstellung dann zwar zwei Zeilen, aber zumal für die, die die Differentialrechnung erst noch kennen lernen wollen, ist es übersichtlicher. Und man vertippt sich dann auch nicht so leicht (wie z.B. ich in der anderen Antwort).

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 43

dass man die Hochzahl vorholen und im eins verringern soll

Das funktioniert nur bei Polynomen (Potenzregel).

Es gibt Unmengen an Ausnahmeregelungen, um nur einige zu nennen:

Quotientenregel, Kettenregel, Summenregel, Wurzelregel, ...

Bei Brüchen muss erstere Regel angewendet werden.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von BatmanZer ,

Das erklärt einiges. Danke. Kennen Sie vielleicht eine Seite, auf der die Regeln erklärt werden?

Kommentar von Willibergi ,

Hier:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitung-differenzieren-analysis-math...

Ich weiß jedoch nicht, wie weit du als Neuntklässler schon bist, um dies verstehen zu können. ^^

LG Willibergi

Kommentar von BatmanZer ,

Danke. Ich muss mich auf jeden Fall die nächste Tage ein bisschen damit beschäftigen. ^^ Wissen Sie zufällig in welcher Klasse (Gymnasium Bayern) Differentialrechnung auf dem Lehrplan steht?

Kommentar von Willibergi ,

Na klar weiß ich das: Q11.

LG Willibergi

Antwort
von Gehilfling, 36

d²a ist eine Schreibweise für die zweite Ableitung von a. Das darfst du nicht mit dieser Regel berechnen.

Antwort
von ausdertonne, 18

Über die Ableitungsregeln haben andere ja bereits etwas geschrieben.

(d/dt ) ist ein sogenannter Operator. Er sagt, dass das was danach kommt, nach der Zeit abzuleiten ist. Operatoren sind Objekte der Mathematik, so wie Zahlen und Funktionen. Für sie kann man wieder eigene Rechenregeln herleiten.

(d/dt) s(t) heißt, leite die Funktion s(t) nach t ab. Man schreibt es nun so auf, wie eine Multiplikation, daher wird daraus   ds(t)/dt und somit die Ableitung des Weges nach der Zeit.

Das kann man immer weiter treiben. Für die zweite Ableitung setze ich den Operator einfach nochmal davor, also  (d/dt) (d/dt) s(t)

Das schreibt man auch kürzer als (d/dt)^2 s(t), man tut also so, als ob man diese Operatoren ganz normal wie Zahlen multiplizieren könnte. Dass man das wirklich kann, zeigen Mathematiker in einem Teilgebiet, das Algebra heißt.

So kommt es zu der Schreibweise d^2/dt^2

Das Spiel kann man so immer weiter treiben: d^n/dt^n = n-te Ableitung....




Kommentar von BatmanZer ,

Dankeschön :) Kennst du evtl. eine Seite, auf der das Rechnen mit Operatoren beschrieben wird? Oder wendet man da auch die normalen Ableitungsregeln an?

Kommentar von ausdertonne ,

Ja, letztlich läuft es natürlich wieder auf dieselben Ableitungsregeln hinaus.

Die Operatoren sind eher eine etwas abstraktere Sichtweise auf das Ganze. Man behandelt das aber normalerweise erst an der Uni im Mathe- oder Physikstudium.

Ich weiß nicht, ob das für die 9. Klasse nicht ein bißchen zuviel ist, aber du kannst ja mal hier reinschauen
www.home.uni-osnabrueck.de/phertel/pdf/lop.pdf

Oder auch Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialoperator

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