Frage von Mkarl,

Wie findet man den Abstand von F zu A?

Hallo

Hier habe ich eine Frage zur Geometrie:

  1. Wie löst man diese Aufgabe: Das Quadrat ABCD ist gegeben. Auf der Strecke A nach E liegt ein Punkt E so dass die Dreiecke ABF und BCF die gleiche Fläche haben. Wie weit ist A von F entfernt.

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Danke

Bild zur Geometrie Frage
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Antwort von psychironiker,

Ich sehe nicht, warum es das Dreieck BCF nicht geben sollte, ohne dass die Zeichnung verändert werden müsste.

Kartesisches Koordinatensystem, A im Ursprung. c = cot(55°)

Ortsvektoren:

a = (0 0), b = (10 0), c = (0 10), d = (10 10), e = (10c 10), f = (10cµ 10µ), wobei 0 ≤ µ ≤ 1

Die gesuchte Entfernung ist z = |f| = µ|e| = 10µ√(.c² +1); (1)

b, f spannen das Dreieck ABF auf ⇒

2 * Fläche (ABF) = det (b, f) = 100µ

c-b = (-10 10), f -b = ( 10cµ-10, 10µ) spannen das Dreieck BCF auf ⇒

2 * Fläche (BCF) = det (c-b, f-b) = -100µ -100cµ + 100;

Die Flächen sind gleich, wenn

100µ = -100µ -100cµ + 100;

2µ = -cµ + 1;

µ = 1 / (2 +c); in (1):

z = 10√(.c² +1) / (2 +c) = 4,521

Antwort von kraemersg,

Zeichnung und Aufgabe haben wohl Fehler. Gemeint kann nur sein:

F liegt auf AE.

Punkte C und D sind vertauscht, das es das Dreieck BCF sonst auf mal nicht geben kann.

Jedes der beiden Dreiecke braucht 3 Informationen, damit es komplett bestimmt ist. ABF hat 2 Informationen, den Winkel und die Hypothenuse. AF wird als Variable angenommen und ist damit die 3. Information. Damit sind auch alle WInkel und alle Seiten des Dreiecks sowie die Fläche berechenbar als Funktion von AF.

BCF hat als Information BC sowie FB und den Winkel zwischen FB und BC als Funktion von AF. Damit sind auch hier alle Dreiecksinformationen als Funktion von AF bestimmbar. Nimmt man nun die Information dazu, dass die Flächen gleich sein sollen, erhält man eine beliebig komplizierte Gleichung, bekommt aber AF heraus. Wenn man ein bisschen nachdenkt, findet man den richtigen und leichten Weg.

Kommentar von claushilbig,

Wenn man die Aufgabe so auffasst (C und D gegenüber der Zeichnung vertauscht), ist mein Ansatz über die Höhen sogar noch einfacher, und jetzt finde ich auch eine rechnerische Lösung:

Laut Aufgabenstellung ist ABCD ein Quadrat, damit sind AB und BC, die Grundseiten der beiden gesuchten Dreiecke gleich lang! Damit die Flächen gleich sind, müssen die Höhen der beiden Dreiecke ebenfalls gleich lang sein.

Wir müssen also nur den Punkt F auf AE suchen, der zu AB und BC den gleichen Abstand hat.

Betrachten wir das Ganze als Koordinatensystem mit Ursprung in A und AE als lineare Funktion. Mit dem Winkel 55° ergibt sich als Funktionsgleichung hierfür y = 1,428x (denn AE geht durch den Ursprung und tan(55°) ~ 1,428).

Für einen beliebigen Punkt (x|y) auf AE ist nun y der Abstand zu AB, der Abstand zu BC errechnet sich zu (10 - x). Für F müssen nun beide Abstände gleich sein, es muss also gelten y = 1,428x und y = (10 - x).

Durch Gleichsetzung ergibt sich 1,428x = 10 - x => 2,428x = 10 => x = 10/2,428 ~ 4,118. Der zugehörige y-Wert ist dann 1,428 * 4,118 ~ 5,881

Der Punkt F muss also etwa bei den Koordinaten (4,118|5,881) liegen, oder mit einem Abstand von etwa 7,179 zu A auf AE (per Pythagoras zu berechnen). [Dass 4,118 + 5,881 = 9,999 ergibt und nicht glatt 10, liegt an den diversen Rundungen ...]

Kommentar von claushilbig,

Und zeichnerisch ist die Lösung total simpel:

Wenn ich eine Diagonale von B nach D zeichne (also zu dem Punkt, der im Bild mit C beschriftet ist), dann gilt für jeden Punkt auf dieser Diagonalen, dass seine Abstände zu AB und zu BC gleich groß sind.

Das gilt dann natürlich auch für den Schnittpunkt dieser Diagonalen mit der Strecke AE, den ich jetzt mal F nenne ...

[...und für diese Lösung braucht man wiederum nicht einmal den Winkel von AE...]

Kommentar von kraemersg,

Genau! Ich habe nicht genau genug gelesen und den Begriff "Quadrat" übersehen. Dann ist es noch einfacher!

Antwort von claushilbig,

Ich hoffe mal, ich verstehe die Aufgabenstellung richtig: F soll auf AE liegen, die Punkte A, B, C, D sind nicht in der üblichen Reihenfolge benannt (die wäre einmal 'rum gegen den Uhrzeigersinn).

Da ABCD ein Quadrat ist, hat das Dreieck ABF die Grundseite 10 (lt. Zeichnung) und BCF als Grundseite die Diagonale, mit der Länge 10 * Wurzel(2). Damit die Dreiecke die gleiche Fläche haben, musst Du also einen Punkt F auf AE finden, für den der (senkrechte) Abstand zu AB Wurzel(2)-mal größer ist als sein (senkrechter) Abstand zur Diagonalen BC.

Jetzt überlege ich mal, wie man diesen Punkt per Konstruktion mit Zirkel un Lineal finden kann ...

Zeichne zunächst die Diagonale BC (die Grundseite des einen gesuchten Dreiecks) und als Hilfslinie die Diagonale AD ein. Damit erhältst Du den Mittelpunkt M des Quadrates. Die Strecke AM hat die Länge 5 * Wurzel(2). Diese Länge kannst Du jetzt mit dem Zirkel abnehmen, auf die Strecke AC übertragen und so eine Parallele p1 zu AB zeichnen, die den Abstand 5 * Wurzel(2) hat.

Z. b. durch Halbierung einer Quadratseite erhältst Du die Länge 5, die kannst Du auf der Strecke MA auftragen und eine Parallele p2 im Abstand von 5 zur Diagonalen BC zeichnen.

Die beiden gerade gezeichneten Parallelen p1 und p2 schneiden sich in einem Punkt S. Für diesem Punkt gilt, dass er den Abstand 5 zur Diagonalen BC und den Abstand 5 * Wurzel(2) zu AB hat. Es ist also ein spezieller Punkt, für den der (senkrechte) Abstand zu AB Wurzel(2)-mal größer ist als sein (senkrechter) Abstand zur Diagonalen BC. Verbindet man nun diesen Punkt S mit dem Punkt B durch eine Gerade g, so gilt für JEDEN Punkt dieser Geraden, dass sein Abstand zu AB Wurzel(2)-mal größer ist als zu BC.

Das gilt dann natürlich auch für den Schnittpunkt von g mit der Strecke AE, den ich jetzt mal F nenne ...

Kommentar von claushilbig,

Auf eine rechnerische Lösung komme ich gerade nicht. Wahrscheinlich ist die aber gefragt, denn sonst wäre es unnötig, den Winkel zwischen AB und AE anzugeben ... :(

Antwort von Ellejolka,

sie; er hat anstatt F aus Versehen E geschrieben; mE

Antwort von HerrDeWorde,

Sollst du das mathematisch oder mit dem Zirkel lösen?

Antwort von Zorura,

Ok, du musst das Dreieck CEA ausrechnen bzw. die seitenlängen. Der Abstand CE ist dann auch der Abstand AF, wenn ich das richtig verstanden habe.

Kommentar von Zorura,

F müsste dann senkrecht unter E liegen, sonst haut die Aufgabenstellung nicht hin.

Antwort von SkillvonAldi,

"Auf der Strecke A nach E liegt ein Punkt E " Wie soll das gehen? "so dass die Dreiecke ABF und BCF die gleiche Fläche haben." Woher kommt das F?

Antwort von Joschi2012,

Welches F ?

Antwort von R3lay,

Ich sehe das F nicht

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