Frage von lukasstmhltr, 25

Wie finde ich eine Matrix, durch die ich eine Drehachse beschreiben kann?

Hallo zusammen,

ich schlage mich gerade mit einer Aufgabe zu räumlichen Drehungen rum.

Gegeben ist ein linearer Unterraum V von R^3, der aus den Vektoren besteht, die auf w = (2, -2, 1) senkrecht stehen. Dazu soll eine Orthonormalbasis konstruiert werden. Bezogen auf die kanonische Basis von R^3 soll herausgefunden werden, durch welche Matrix die räumliche Drehung um die durch w erzeugte Drehachse um 90 Grad (im Rechtsschraubendrehsinn) beschrieben wird.

Ich weiss bei dieser Aufgabe leider nicht, wie ich vorgehen soll und wäre um Hilfe sehr dankbar! Da ich die Aufgabe zur privaten Prüfungsvorbereitung löse kann ich leider nicht den Dozenten fragen..... Besten Dank im Voraus!

Antwort
von Roach5, 15

1. Normiere w zu w', sodass w und w' linear abhängig sind und |w'| = 1.

2. Fülle w' zu einer Orthonormalbasis auf, z.B. mit dem Gram-Schmidt-Verfahren.

3. Entferne w' von der Basis. Jetzt hast du eine Orthonormalbasis von V. Sei diese Basis jetzt {v, v'}.

4. Wenn du eine Drehung um 90° in dieser Ebene hast, dann wird v entweder auf v' oder -v' geschickt und v' dementsprechend entweder auf v oder -v. Welche dieser beiden Drehungen jetzt die im Rechtsschraubendrehsinn ist, entscheidet das Kreuzprodukt. Wenn du die beiden Vektoren nämlich mit dem Kreuzprodukt multiplizierst, kommt entweder w' oder -w' heraus. Wenn w' herauskommt, hast du die richtige Drehung gefunden.

5. Jetzt nimmst du wieder deine Orthonormalbasis von R³, nämlich {w', v, v'}, und du weißt, dass f(w') = w', f(v) = v' [Beispielsweise], f(v') = -v [Beispielsweise]. Daraus kannst du dir jetzt deine Matrix basteln.

LG

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