Frage von FelixAE7, 27

Wie finde ich diesen Funktionsterm?

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist zur y-Achse symetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.

Wie muss ich vorgehen ?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 3

Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse sein soll, muss sie gerade sein, d. h. alle Exponenten von x müssen gerade sein.

Damit die Funktion einen Wendepunkt hat, muss sie mindestens 3. Grades sein; da sie aber gerade sein muss, ist sie mind. 4. Grades, also allgemein:
f(x)=ax^4+bx²+c
f'(x)=4ax³+2bx
f''(x)=12ax²+2b

Tiefpunkt auf der x-Achse bedeutet:
f'(0)=0 und f''(0)>0
=> 12a * 0+2b >0 => b>0

Wendepunkt bei x=1 bedeutet:
f''(1)=0 => 12a * 1²+2b=0     => 12a+2b=0 => b=-6a

d. h. b muss das 6-fache von a sein, bei umgekehrtem Vorzeichen. Da b positiv sein muß (wg. Bedingung für Tiefpunkt), ist a negativ.

Sind keine weiteren Angaben vorgegeben, gibt es unendlich viele Funktionsgleichungen mit Deinen Vorgaben; wobei c ebenfalls beliebig ist.

also z. B. a=-1 => b=-6 * (-1) = 6; c beliebig, also z. B. c=7 => f(x)=-x^4+6x+7

Kommentar von FelixAE7 ,

Ich hätte als erstes den Punkt (0|0) in f(x) eingesetzt und somit rausbekommen, dass c=0 ist wieso gilt dies hier nicht ?

Kommentar von FelixAE7 ,

Vergiss es mein Fehler den Punkt 0|0 gibt es ja nicht....

Kommentar von Rhenane ,

Hast absolut Recht, habe "Tiefpunkt auf der x-Achse" nicht mehr vor Augen gehabt, somit ist natürlich c=0!

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