Frage von eddiepoole, 61

Wie finde ich die richtige Variable?

Ich habe zwei Gleichungen:

10 ^ Y * Z = 60

5 ^ Y * Z = 15

Ich bin sicher, dass es nicht nur für die hier eingesetzten vier Zahlen immer genau eine eindeutige Lösung für Y und Z gibt, sondern für alle anderen möglichen Fälle auch. Ich konnte jedenfalls immer eine finden, aber nur duch mühseliges Ausprobieren. Wer kann mir eine Formel sagen, die mir Y ermittelt? (Z wäre danach ja nur noch ein Rechenschritt)

Danke schonmal <3

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von lks72, 37

Du dividierst die erste durch die zweite Gleichung, z kürzt sich raus und du hast

10^y / 5^y = 60/15

<=> 2^y = 4

und hier ist y = 2 trivial.

Kommentar von Volens ,

Guter Weg, wenn man nicht mit Logarithmen jonglieren möchte.
Und zugegebenerweise schneller.

Kommentar von eddiepoole ,

bei diesem übungsbeispiel ist es zwar überflüssig, aber sonst muss man zum schluss schon nochmal logarithmieren. aber immerhin nur einmal, sehr praktisch.

Kommentar von scatha ,

Schelmisch !! :P

Kommentar von eddiepoole ,

das ist ja viel einfacher als erwartet. vielen dank!!

Kommentar von eddiepoole ,

nochmal danke, lks72, es funktioniert prima. ich habe das jetzt in ein skript gepackt. das wird mir in zukunft viel arbeit abnehmen.

Kommentar von lks72 ,

Klar, im allgemeinen Fall hast du am Ende eine Gleichung der Form a^x = b mit der Lösung x = log(b) / log(a)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 37

y bekommt man durch etwas Logarithmieren.
Wenn man links und rechts irgendeinen log davorschreibt, kommt man zu

log z + y log 10 = log 60
log z + y log 5   = log 15

Die Gleichungen können subtrahiert werden. Es bleibt:

y (log 10 - log 5) = log 60 - log 15
y (log (10/5))       = log (60/15)
               y log 2  = log 4
               y log 2  = log 2²
               y log 2  = 2 log 2
                      y    =  2 

Kommentar von eddiepoole ,

danke!!

Antwort
von DerTroll, 37

Soll das Z denn auch noch im Exponenten stehen? Es wäre gut, wenn du in so einem Texteditor mehr Klammern setzt. So ist nämlich fraglich, wie die Funktionen überhaupt lauten sollen.

Kommentar von eddiepoole ,

wenn das z im exponenten stünde, gäbe es für das rechenbeispiel keine lösung.

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