Frage von schimmelmund, 143

Wie finde ich die Nullstellen eines Komplexen Polynoms?

Habe die Aufgabe als Bild reingestellt. Habe bisher folgendes berechnet:

(Z^3+ Z^2 + Z + 1) / (z+1) = Z^2+1

Nun habe ich sogesehen zweimal diese Gleichung. Was soll ich nun machen? Laut Lösung gibt es 5 Nullstellen..

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ProfFrink, 35

Die erste Nullstelle ( -1 ) wurde Dir ja schon geschenkt. Daraus hast Du ja sofort einen Linearfaktor gebastelt (z + 1) und hast dann korrekt eine Polynomdivision durchgeführt.

Das neue Polynom lautet nun z^2+1. Das ist aber selbst auch ein Linearfaktor, den Du gleich null setzt.

z^2+1 = 0    ->   z^2 = -1     z = Wurzel(-1)   ergibt z2 = +i     z3 = -i

Noch nicht auswertet ist Dein letzter Linearfaktor  (z^2 + i)

z^2 + i =0  ->   z^2 = -i    z = Wurzel (-i)

Polarkoordinaten:   z = Wurzel( e ^ [-i*pi/2])   z = Wurzel( e ^ i[2*pi-pi/2]) 

                               z = e ^ [-i*pi/4]   und  z = e ^ i[3*pi/4]

                           

z = cos (-pi/4) + j*sin (-pi/4)  = (1- i)/Wurzel(2)       und

z = cos (3*pi/4) + j*sin (3*pi/4)  = (-1+ i)/Wurzel(2)     

Habe mich bei meiner ersten Lösung bei einer von fünf Nullstellen geirrt.

Kommentar von schimmelmund ,

" z = cos (-pi/4) + j*sin (-pi/4)  = (1- i)/Wurzel(2)       und "

Hier habe ich bei cos(-pi/4) = Wurzel2/2 raus. Bei Sinus das gleiche, nur negativ.

Kommentar von ProfFrink ,

Wurzel(2) / 2 ist das gleiche wie 1/Wurzel(2)

Begründung:

Wurzel(2) / 2 = Wurzel(2) / [Wurzel(2) * Wurzel(2)]

Eine Wurze(2) im Zähler kannst Du gegen eine Wurzel(2) im Nenner kürzen.

Kommentar von schimmelmund ,

Okay sehe es jetzt. Mein Taschenrechner hat die andere Form einfach lieber. Vielen Dank

Antwort
von ProfFrink, 52

Erste Nullstelle = -1

Zweite Nullstelle = +i

Dritte Nullstelle = -i

Vierte Nullstelle = (1+i)/Wurzel(2)

Fünfte Nullstelle = (1-i)/Wurzel(2)

Sie liegen alle auf dem Einheitskreis.


Kommentar von schimmelmund ,

Mich interessiert ja die Rechnung^^

Antwort
von Homogensis, 81

Du wendest den Satz vom Nullprodukt an, der besagt wenn ein Faktor null ist ist das Ergebnis null. Dann setzt du also die erste Klammer =0 und da noch der hinweis gegeben ist, dass -1 eine Nullstelle ist denke ich, dass du die zweite klammer mit der linearfaktorabspaltung lösen sollst. Also beide Klammern =0 setzen!

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