Frage von 10024051, 46

Wie finde ich die Nullstellen einer Funktion?

Wie finde ich die Nullstellen einer Funktion? Sagen wir mal die Gleichungen:

f(x)=(x+2)^2-5 f (x)=x^2×4 f (x)=(x-3)^2

Ich kann sie in einem Koordinatensystem zeichnen und dann bestimmten, aber wie geht der Weg, sie zu bestimmen ohne was zeichnen zu müssen? Die Aufgabe lautet nämlich die Nullstellen zu bestimmen ohne großartig zu zeichnen.

Danke im Vorraus.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, 9

Nullstellen zu bestimmen bedeutet grundsätzlich, die Stellen zu finden, an denen der Graph die x-Achse schneidet, also dort, wo y = 0 bzw. f(x) = 0.

Dazu setzen wir den Funktionsterm null und lösen nach x auf.

Dafür gibt es je nach Gleichung ganz verschiedene Wege:

f(x) = (x + 2)² - 5

Hier können wir die Lösung durch einfache Äquivalenzumformungen bestimmen:

(x + 2)² - 5 = 0       | +5
(x + 2)² = 5            | ±√
x + 2 = ±√5            | -2x = ±√5 - 2

Also: x = √5 - 2 x = -√5 - 2 bzw. x ≈ -4,24 ∨ x ≈ 0,24

f(x) = x² * 4 = 4x²

Hier geht es auch ganz einfach durch Äquivalenzumformungen:

0 = 4x²                   | :4x² = 0                     | ±√
x = ±√0 = 0

Es gibt also nur eine Nullstelle und zwar bei x = 0.

Nehmen wir aber mal an, du hast folgende Gleichung gegeben:

f(x) = x² - 2x - 8

Hier lässt sich mit Äquivalenzumformungen nicht so einfach nach x umformen, für solche Gleichungen kennst du die pq- oder die abc-Formel.

In diese Formel setzt du dann die Koeffizienten, also entweder p = -2, q = -8 oder a = 1, b = -2, c = -8, ein und berechnest die Ergebnisse.

Hier sollte dann x = -2 ∨ x = 4 herauskommen.

Grundsätzlich suchst du also immer den einfachsten Weg, x zu bestimmen, sei es durch Äquivalenzumformungen, durch Faktorisation (Ausklammern) oder durch eine Lösungsformel.

LG Willibergi

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 12

f(x)=(x +2)^2 - 5 Nullstellen bei x1= - 4,236 und x2=0,2360

binomische Formel anwenden (x+b)^2= x^2+2*b *x +b^2

f(x)=(x+2)^2 - 5 = x^2 + 2 *2 *x + 2^2 - 5= x^2 + 4 *x - 1

die Parabel hat die Form f(x)=0= x^2 + p *x + q

nun die p-q-Formel anwenden,siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Funktion" ,siehe auch die "Lösbarkeitsregeln" dazu.

f8x)= x^2 * 4 Satz vom Nullprodukt anwenden

c= a*b hier ist c=0 wenn a=0 oder b=0 ist oder beide

f(x)= x^2 *  4 also ist x^2=a=0 also x=0 und b=4=konstant

f(x)= (x-3)^2 binomische Formel (x+b)^2= x^2-2*b *x+b^2

f(x)=(x-3)^2= x^2 - 2*3 *x + 3^2= x^2 - 6 *x + 9 Nullstelle bei x=3

Die Parabel berüht die x-Achse bei x=3 und ist nach oben offen

Antwort
von R4c1ngCube, 22

Die Nullstellen sind dort, wo du für den eingesetzten X-Wert den Y-Wert 0 erhälst, also F (Funktionswert) von X = 0. Da du davon ausgehst, dass du mit deiner Funktionsgleichung den Y-Wert 0 erhalten kannst (sonst gäbe es nämlich keine Nullstellen) setzt du die Funktionsgleichung gleich 0. Also F(x)= 0 = Funktionsgleichung. Da in deiner Funktionsgleichung aber noch eine (oder mehrere) unbekannte, also die Variablen X steht, musst du herausbekommen, was der einzusetzende Wert ist. Achtung, quadratische Funktionen haben häufig 2 Nullstellen, da -n^2 das gleiche ergibt wie n^2. Um herauszubekommen, wo die Nullstellen liegen, gibt es jetzt noch verschiedene Methoden, die das ganze vereinfachen - welche du brauchst hängt von der Funktion ab, bzw vom Schuljahr, in dem du bist. Dazu nenne ich dir einfach die Namen davon und du suchst dann notfalls nochmal nach der entsprechenden Methode: Ausklammern (natürlich + 0 setzen), Mitternachtsformel, Substitution.

Kommentar von R4c1ngCube ,

Sry, das was ich im ersten Satz geschrieben habe klingt etwas verwirrend, wenn nicht sogar falsch - F von X muss 0 sein. Nich F von X von 0 (also X=0).

Kommentar von 10024051 ,

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort! Jetzt habe ich es verstanden.

Kommentar von Willibergi ,

da -n^2 das gleiche ergibt wie n^2

Das ist so gesehen schlichtweg falsch.

-n²  n², sonst wäre ja -2², was -4 ergibt, das gleiche wie (-2)², was 4 ergibt.

Nur durch korrekte Klammersetzung ist es richtig: (-n)² = n²

LG Willibergi

Kommentar von R4c1ngCube ,

Ah stimmt, danke :) Ich glaube ich habe in letzter Zeit zu viel den Taschenrechner benutzt ^^ (Da gibt es das Rechenminus und das Vorzeichenminus, deswegen muss man die die Klammern nicht setzen - der Rechner machts trotzdem richtig)

Kommentar von Willibergi ,

Ist das bei deinem Taschenrechner wirklich so? Weder mein GTR, noch mein normaler unterscheidet zwischen dem Minus als Operator und dem Minus als Vorzeichen, obschon es zwei Knöpfe gibt.

LG Willibergi

Antwort
von Cheetah96, 24

Du musst F(x) nullsetzen und dann ausrechnen. 

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