Wie erzeuge ich einen Gegenterm? Was muss ich dabei beachten? (Lineare Gleichungssysteme)
Hey ich habe ein kleines mathematisches Problem.
Es geht um die Lösung der folgenden Gleichungen mittels des Additionsverfahrens.
2x + 3y = 6 (Gleichung 1)
x - 6y = -27 (Gleichung 2)
Um die beiden addieren zu können, muss ich eine Variable killen, ich habe x genommen, indem ich bei Gleichung 2 einfach -3x gerechnet habe. Somit hatte ich dann
2x + 3y = 6 (Gleichung 1)
-2x -6y = - 27 (Gleichung 2)
Nachdem ich die Gleichungen gelöst und die Probe gemacht habe, war diese falsch. Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich alles richtig gemacht habe, da ich alle Verfahren eigentlich sehr gut beherrsche.
Die meisten Fehler mache ich beim Erzeugen eines Gegenterms. Was mache ich dabei falsch? Worauf muss ich achten, wie muss ich vorgehen?
5 Antworten
x - 6y = -27 und -2x -6y = - 27 sind zwei verschiedene Gleichungen. du kannst nicht einfach bei nur einer Variable den Koeffizient verändern und bei den anderen so lassen. wenn, dann multipliziere die komplette Gleichung mit (-2). dann wird aus x - 6y = -27 --> -2x + 12y = 54
anschließen das übliche Vorgehen: zur Gleichung 2 die Gleichung 1 dazuaddieren: kommt 15y = 60 raus. nach y auflösen: y=4 und damit dann x=-3
Multiplizieren ist meistens ratsam. Wenn Du konsequent auf beiden Seiten -3x gerechnet hättest, wäre bei Gleichung 2 auf der rechten Seite -27-3x "übrig" geblieben. Dann hättest Du das gleiche Problem gehabt, nur etwas umgestellt.
Durch Multiplikation auf beiden Seiten mit einer Konstanten bleibt die rechte Seite konstant. Deshalb ist die Multiplikation in den meisten Fällen am angebrachtesten.
2x + 3y = 6 (Gleichung 1)
x - 6y = -27 (Gleichung 2)
wenn du Gleichung zwei mit -2 multiplizierst, sieht sie so aus ( da hast du nur den ersten Term multipliziert, du musst die ganze Gleichung mit -2 multiplizieren)
-2x + 12y = +54
Anschliessend kannst du entspannt weitermachen. 15 y = 60 oder y = 4
2x+3y=6 x+6y=-27 |-3x
2x+3y=6 -2x+6y=-27
-3y=36 |*-3 y = -12
du hast den fehler gemacht das du nicht -3x sondern -2x genommen
Du hast das Verfahren falsch angewandt. Du kannst nicht einfach die Gleichung
x - 6y = -27
durch die Gleichung
-2x -6y = - 27
ersetzen. Du kannst immer nur eine Gleichung durch eine äquivalente Gleichung ersetzen. Stelle es dir mal mit einer Variablen vor:
Wenn
2 x = 5
ist, warum sollte dann auch 4x = 5 sein? Du kannst nicht einfach nur einen Teil der Gleichung verändern, sondern immer die alle Teile der Gleichung. Aus 2x = 5 kannst du 4x = 10 machen - oder 2x + 4 = 5+4. Zulässig sind nur Umformungen auf beiden Seiten - und dort jeweils mit dem gesamten Term, sogenannte Äquivalenzumformungen.
Und so ist es hier auch.
Wenn du die Gleichung x - 6y = -27 so umformen willst, dass vor dem x der Faktor -2 steht, dann musst du die gesamte Gleichung mit -2 multiplizieren.
Also:
x - 6y = -27 | * (-2)
(-2) (x - 6y) = (-2) * (-27)
-2x + 12y = 54.
Damit kannst du jetzt weiterrechnen.
Wenn du -3x rechnest, dann musst du das ja auf beiden Seiten machen. Dann taucht es auf der anderen Seite wieder auf!
x-6y= -27 |-3x
-2x-6y= -27-3x
Das hilft dir also nciht weiter. Du musst dazu die 2. Gleichung mit 2 multiplizieren. Danach kannst du die Gl. subtrahieren (gehört mit zum Additionsverfahren)
2x-3y=6
x-6y= -27 | * 2
2x-3y=6
2x-12y= -54
9y=60
y=60/9=20/3
ihr habt sicher gelernt, dass wenn man auf beiden seiten des Gleichheitszeichens dieselbe Operation durchführt, verändert das die Lösung nicht. auch bei Gleichungssystemen bleibt die Lösungsmenge gleich. deshalb immer beide Seiten der Gleichung mit demselben Faktor multiplizieren