Wie erstelle ich hier die Umkehrfunktion?

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4 Antworten

ja, y^1/4 = x dann x und y vertauschen;

x^1/4 = y

also

y = 4. wurzel x

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ich habe f(x) = x^4 dann y = x^4

Die Funktion (auch: Abbildung, Funktionen sind spezielle Abbildungen) ist dieselbe. Dabei ist f die Abbildung selbst und y=f(x) die Variable, deren Wert über die Abbildung f von x abhängt. Ausführlicher ist f, verstanden als reelle Funktion, als

(1) f: ℝ → ℝ
         x ↦ y

darstellbar. In dieser Form ist sie aber nicht umkehrbar, da sie

  1. nicht injektiv, also umkehrbar eindeutig ist (f(–x) = f(x)), und
  2. nicht surjektiv ist, da es zwar zu jedem x ein y gibt (sonst wäre es gar keine Funktion oder Abbildung), aber nicht zu jedem y ein x gibt.

Surjektiv wird die Funktion durch Einschränkung der Zielmenge

(2) f: ℝ → ℝ₀₊    mit    ℝ₀₊ := {y ∈ ℝ|y ≥ 0}
         x ↦ y=x⁴.

und injektiv und damit umkehrbar durch

(3) f: ℝ₀₊ → ℝ₀₊
             x ↦ y=x⁴,

wobei natürlich auch

(4) f: ℝ₀₋ → ℝ₀₊    mit    ℝ₀₋ := {y ∈ ℝ|y ≤ 0}
             x ↦ y=x⁴

eine solche umkehrbare Funktion wäre. Im Falle von (3) ist natürlich

(5) x = f⁻¹(y) = x^{¼} = ⁴√y;

ein eigenes Zeichen für die vierte Wurzel habe ich nicht gefunden.

Wichtig ist, dass man erst den Defbereich einschränken muss, um die Funktion bijektiv (injektiv und surjektiv) zu machen.

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bei x² ziehst Du die (Quadrat-)Wurzel (=^1/2), bei x^4 die 4.Wurzel (=^1/4)

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Du musst die 4. Wurzel von x ziehen.

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