Frage von jungundunsicher, 23

Wie E-Funktion ableiten?

Ich habe heute eine Mathe Klausur geschrieben und die ziemlich verhauen.

Allerdings kann ich mich an eine Aufgabe sehr gut erinnern und wollte fragen, ob mir jemand helfen kann die zu lösen.

Gleichung: f(x)= (x^2-4)*e^-0,5x

Wir sollten dazu die Nullstellen, Ableitungen, Extrema und Wendestellen herausfinden.

Würde mich freuen wenn mir jemand erklären könnte wie man auf die Ableitung zu der Gleichung kommt! :)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 7

Hierzu benutzt Du zum einen die Produktregel und zum anderen bei der Ableitung der "e-Potenz" zusätzlich die Kettenregel (sprich: innere Ableitung nicht vergessen).

also: f'(x)=2x * e^(-0,5x) + (x²-4) * e^(-0,5x) * (-0,5)

Jetzt e^(-0,5x) ausklammern und den Rest zusammenfassen...

Antwort
von TheAceOfSpades, 10

ausmultiplizieren: f(x) = x²exp(-½x) - 4exp(-½x)

ableiten mit Produktregel und mit exp(nx)' = aexp(nx) für beliebige n aus IR

f'(x) = 2xexp(-½x) + (-½)exp(-½x) - 4(-½)exp(-½x)

ausklammern f'(x) = exp(-½x) [2x + x²(-½) -4(-½)] = exp(-½x) [-½x² +2x +2]

Antwort
von Kaenguruh, 15

Du musst die Produktregel und die Kettenregel anwenden.

Produktregel (u v)' = u v' + u' v. Also (x^2 - 4) * (e^-0,5x)'  + (x^2-4)' * (e^-0,5x)

Für e^(-0,5x)' brauchst Du die Kettenregel. Also, Du betrachtest den Term  -0,5x, als eine Variable und leitest nach dieser ab. Das Ergebnis multiplizierst Du noch mit (-0,5x)'. Also ( e^-0,5x)' = e^-0,5x * -0,5. Anmerkung: Die Ableitung der e Funktion ist diese selbst.

Antwort
von gilgamesch4711, 5

  Lass mal Pappi ran. Die Kurvendiskussion ( KD ) folgt einer ganz bestimmten Ordnung. Zunächst die Nullstellen; die e-Funktion hat keine. Also musst du das Polynom Null setzen.

      x1;2 = ( -/+ 2 )      (  1a  )

   Die e-Funktion ist ja immer positiv; überlegen wir uns das Vorzeichen des Polynoms.

     | x | > 2 ===> f ( x ) > 0        (  1b  )

    | x | < 2 ===> f ( x ) < 0        (  1c  )

   Halt; Ableiten is noch lange nich. eine lebenswichtige Frage, die gar nicht gestellt war: die Asymptotik. Wegen ( 1b ) geht f ( x ) gegen ( + °° ) für x ===> ( - °° ) , aber wie die e-Funktion. Im Falle x ===> ( + °° ) bretterst du auf den Fall ( °° ) * 0 ; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

   f ( x ) geht demnach asymptotisch gegen ( + 0 )

     Wo ihr euch immer so sträubt; aus diesen Erkenntnissen kannst du doch bereits einen Slalom aufbauen. Ich krieg nämlich immer Kommentare, diese Grobskizze sei entbehrlich.

   ( - 2 ) < x ( min ) < 2 < x ( max ) < x2 ( w )   ( 2a )

    Zwischen den beiden Extrema versteckt sich allerdings noch ein zweiter WP

   ( - 2 ) < x ( min ) < x1 ( w ) < x ( max ) < x2 ( w )   ( 2b )

   Die erste Ableitung bilden wir am Besten ===> logaritmisch; das bietet den Vorteil, dass die Rechenstufe um Eins erniedrigt wird.

 ln ( y ) = ln ( x ² - 4 ) - x / 2       (  3a  )

                                  2 x

  y ' / y = 0    =   --------------------  -  1/2 | * HN ( 3b )

                                 x ² - 4

      x  ²  -  4  x  -  4  =  0    |  MF     (  3c  )

   x ( min / max ) = 2 [ 1 -/+ sqr ( 2 ) ]    ( 3d )

   Nein ich bin nicht so tolerant wie eure Lehrer. Der TR bleibt schön in der Schublade; mit rein Zahlen teoretischen Argumenten prüfen wir nach, dass sich die Extrema ( 3d ) tatsächlich in den Intervallen ( 2a ) aufhalten - für das Maximum ist das ja trivial erfüllt.

   | x ( min ) | = sqr ( 8 ) - 2        (  4a  )

   Ist das jetzt wirklich kleiner 2 ? Aktion Wilhelm Bendow; haach ist das aufregend. Wer gewinnt denn; Minuend oder Subtrahend?

   Mein Standardverfahren: eine ganz vorsichtige Abschätzung, bei der der Radikand nicht weiter aufgerundet wird als bis zur nächsten Quadratzahl.

| x ( min ) | < sqr ( 9 ) - 2 = 1    (  4b  )

    Und damit verschärft sich ( 2a )

  ( - 1 ) < x ( min ) < 2     (  4c  )

   Für die 2. Ableitung sollten wir uns das Leben nicht unbedingt schwerer machen, als es ist. Es gibt nämlich eine verallgemeinerte produktregel für Ableitung n-ter Ordnung, die sog. Leibnizregel ( Courant Bd. 2 ) Mit der könntest du aus dem Stand ohne Zwischenschritte aus der Ausgangsfunktion die 4 711. Ableitung bilden; die Leibnizregel folgt ganz einfach dem binomischen Lehrsatz. Für 2. Ableitung sieht man sofort ein

  ( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v "    ( 5a )

   Statt " e-funktion " schreibe ich im Folgenden abkürzend v
; die geht eh den Bach runter.

  f " ( x ) = 2 v + 2 * 2 x * ( - 1/2 ) v  +   (  5b  )

    +  1/4 ( x ² - 4 ) v  =  0    (  5c  )

   Ich schick erst mal ab; den Rest mach ioch nachher - versprochen.

Antwort
von gilgamesch4711, 4

 Alle sagen nur immer, was man tun könnte, statt es zu tun; hier die
versprochene Ergänzung Teil 2 . Bitte zuerst Teil 1 lesen; ich musste
mich erst mal schlafen legen ( Ich kann mir das ja erlauben )

  
Hoffentlich wird es von den Administratoren richtig angefügt; wann gibt
es hier endlich richtige Ergänzungen wie bei der Konkurrenz ===>
Lycos? Bei Lycos darfst du nämlich nur einmal antworten, hast aber
beliebig viele Ergänzungen, die dann auch richtig platziert werden.

  Die Normalform der quadratischen Gleichung ( 1.5bc ) lautet

    x  ²  -  8  x  +  4  =  0   |  MF     (  2.1a  )

    x1;2  (  w  )  =  2 [ 2 -/+ sqr ( 3 ) ]    (  2.1b  )

   Zurück zu ( 1.2a ) ; wir müssen noch nachholen

     x  (  max  )  <  x2  (  w  )      (  2.2a  )

  
( 2.2a ) ist aber trivial erfüllt, weil in ( 1.3d;2.1b ) schon getrennt
für die rationale ( ganzzahlige ) Komponente 1 < 2 so wie für die
entsprechenden Radikanden 2 < 3 . Jetzt müssen wir noch überlegen, ob
sich x1 ( w ) , wie in ( 2.2b ) gefordert, zwischen den beiden Extrema
befindet.

   Dazu wenden wir auf ( 1.3c;2.1a ) die cartesische Vorzeichenregel an

    x  (  min  )  <  0  <  x1  (  w  )   (  2.2b  )

     Offen ist nur noch

    x1 ( w ) < 2  ===> x1 ( w ) < x ( max )  ( 2.3a )

   Da die Wurzel diesmal im Subtrahenden steht, müssen wir auf die nächste Quadratzahl ABrunden.

  x1 ( w ) = 4 - sqr ( 12 ) <    (  2.3b  )

     <  4 - sqr ( 9 ) = 1 < 2   (  2.3c  )

   Du kannst ja zur Sicherheit nochmal alle Positionen durch gehen, ob wir jetzt wirklich alles bewiesen haben.

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