Frage von Jimmy199222, 50

Wie den Schwerpunkt eines Körpers berechnen?

Hallo, würde gerne wissen, wie man den Schwerpunkt eines Körpers berechnet. Im Internet finde ich nur was, wie man der Schwerpunkt einer Fläche berechnet, doch will ich den schwerpunkt eines 3D körpers berechnen. Ein Freund meint, ich muss dazu nur die Eckpunkte addieren und die Summe dann geteilt durch die Anzahl der Eckpunkte nehmen. Ist das wirklich so einfach?

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 26

Bei einfachen Körpern brauchst du gar nicht rechnen,weil dieser dann im Mittelpunkt des Körpers liegt.

Würfel Schwerpunkt direht in der Mitte bei a/2

Zylinder bei h/2 und auf der Mittellinie 

Pyramide Vebindungslinie Spitze zu Schwerpunkt der Gundfläche und dann auf h/4 (h Höhe der Pyramide.

Bei Rotationskörpern um die x-Achse

Schwerpunkt xs= (S( x * f(x) * dx) / S( f(x)^2 *dx mit ys=0 und zs=0

S ist hier das Integralzeichen 

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Kommentar von Jimmy199222 ,

Super, danke! Aber weißt du, ob man bei symmetrischen Figuren mit homogener Masseverteilung nicht einfach alle Eckpunkte addieren kann und die Summe dann einfach geteilt der Anzahl der Eckpunkte nehmen kann?

Kommentar von fjf100 ,

Den "Schwerpunkt" ermittelt man mit den "Massenmoment" 1.ter Ordnung

Formel M= Integral ( r  * dm)

1.ter Ortnung,weil der Exponent bei r n=1 ist

dm ist ein kleines Massenteilchen mit den Abstand r von eienr Bezugsachse,die frei wählbar ist.

Man wählt die Bezugsachse so,das diese an der Kante des Körpers liegt,so wird die Rechnung besonders einfach

Es gilt : Die Summe aller Massenmomente um diese Bezugsachse ist gleich Null.

es gilt somit Ms =M mit Ms= m *xs ergibt

m *xs = S ( r * dm) hier ist m die Gesamtmasse des Körpers und xs ist der Abstand vom Schwerpunkt zur Bezugsachse.

Beispiel : Schwerpunkt vom Würfel

M= S( r * dm)= S( x * dm) mit dm= A *roh * dx=a^2 * roh * dx

roh Stahl=7500 Kg/m^3 dichte des Materials

M= S x * a^2 * roh *dx = a^2 *roh *S x *dx integriert

M =a^2 * roh * 1/2 * x^2 + C

mit Ms= M ergibt m *xs=a^2 * roh * !/2 *x^2 + c 

mit m= V *roh= a^3 *roh ergibt

xs= (a^2 *roh * 1/2 * x^2 + c) / a^3 *roh  =a^(-1) *1/2 *x^2 + C/m

M= obere Grenze minus untere Grenze xu= 0 und xo= a

xs=(a^(-1) * 1/2 * a^2) - ( ....* 0^2)= 1/2 * a -0

xs= 1/2 * a

xs ist der Abstand von der Außenkante des Würfels bis zum Schwerpunkt,weil ich die "Bezugsachse an der Außenkante angelegt habe und somit xu=0

Da der Würfel symetrisch ist,gilt dieser Wert auch für die beiden anderen Achsen Also Schwerpunktkoordinaten xs=a/2. und ys=a/2 und zs= a/2

Bei Körpern,die nicht symetrisch zu den Achsen (x-Achse,y-Achse,z-Achse) sind, mus man diese Rechnung für alle 3 Achsen durchführen.

Bemerkung ; Diene Idee kannst du ja beim Würfel ausprobieren.Der Schwerpunkt ist ja bekannt und zwar genau in der Mitte des Würfels,bei xs=ys=zs=a/2 

Antwort
von einfachsoe, 27

Der Schwerpunkt ist definiert als:

r_S=1/M*Sum_0^n(m_n*r_n)

mit M=Sum_0^n(m_n)

Bei symmetrischen Figuren mit homogener Masseverteilung ist es offentsichtlich dort wo sich die symmetrieachsen schneiden.

Kommentar von Jimmy199222 ,

also bei symmetrischen Figuren mit homogener Masseverteilung reicht es die Eckpunkte zu addieren und dann geteilt durch die Anzahl der Eckpunkte zu nehmen?

Kommentar von einfachsoe ,

Abhängig davon wie die Symmetrie aussieht ja

Kommentar von einfachsoe ,

Dann kann man aber auch beliebige äquivalente Punkte nehmen

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