Frage von 12Frage, 51

Wie bilde ich folgende Stammfunktion f'(x)= cos(x/2) f(x)=?

f ' (x)'=cos(x/2)

ist dann

f(x)= 2sin(x/2) oder f(x) sin(x/2) * x ?? oder mach ich was falsch

und wenn ja wie seid ihr drauf gekommen

Antwort
von ELLo1997, 14

Bei solchen einfachen verketteten Funktionen gibt es einen einfachen Trick:
Wenn die innere Ableitung der Funktion eine Konstante ist (dies gilt also nur dann, wenn die innere Funktion ein linearer Term ist zB 3x - 1) , dann ist das Integral der Funktion gleich der Stammfunktion der äußeren Funktion (also von cos x in deinem Fall) geteilt(!) durch die innere Ableitung.
Also in deinem Fall geteilt durch 1/2 was dasselbe ist wie mal 2.
Lg

Expertenantwort
von Franz1957, Community-Experte für Physik, 12

Man bekommt es mit der Substitutionsmethode heraus.

Wir sagen: x/2 soll u sein. Dann ist x = 2 u.

x nach u abgeleitet ist dann: dx/du = 2.

So erhalten wir: dx = 2 du.

Einsetzen in die Aufgabe:

cos(x/2) = cos(u).

Integral(cos(x/2) dx)

= Integral(cos(u) dx)

= Integral (cos(u) 2 du)

= 2 Integral (cos(u) du)

= 2 sin(u)

= 2 sin(x/2)

Statt u kann man auch jedes beliebige andere Symbol dafür nehmen.

Hier sind weitere Beispiele: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/integration-durch-substitution.html

Antwort
von Dovahkiin11, 24

2* sin(x/2) habe ich auch heraus. Der Kehrwert von 0,5 ist 2. 

Kommentar von 12Frage ,

Wie bis du drauf gekommen?

Kommentar von Dovahkiin11 ,

Siehst du bei der Antwort von Franz...

Antwort
von Melvissimo, 23

f(x) = 2sin(x/2) stimmt.

Kommentar von 12Frage ,

Wie bist du drauf gekommen

Kommentar von Melvissimo ,

Zunächst kannst du deine Lösung überprüfen, indem du sie ableitest. Die Ableitung von 2sin(x/2) ist nach der Kettenregel in der Tat cos(x/2), also stimmt die Stammfunktion.

Um cos(x/2) direkt zu integrieren, kannst du z = x/2 substituieren.

Dann ist dz = 1/2 dx, also dx = 2dz.

Damit folgt: 

∫cos(x/2) dx

= ∫2cos(z) dz

= 2 * ∫cos(z) dz

= 2 * sin(z)

= 2 * sin(x/2).

Vergiss nicht, dass beim Integrieren eigentlich auch noch eine Integrationskonstante berücksichtigt werden muss.

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