Frage von Miauulittlecat, 32

Wie beweist man, ob eine Wurzel als Bruch geschrieben werden kann?

Hallo. Wir haben in der Schule gelernt, wie man herausfindet, ob man Wurzel2 als Bruch schreiben kann( mit diesem p/q=Wurzel2 ). Aber ich verstehe nicht, wie man es mit anderen Zahlen, wie Wurzel7 oder Wurzel8 macht. Könnt ihr mir helfen ? Dankeschön im Voraus

Antwort
von lks72, 17

Machen wir es mal generell. n sei eine natürliche Zahl mit der Darstellung n = √(p/q), also n = p^2 / q^2 oder
n • q^2 = p^2.
In dieser Gleichung taucht rechts jede Primzahl von p doppelt auf, wegen des Quadrats, daher ist die Anzahl aller vorkommenden Primzahlen rechts gerade.
So, dies muss nun auch links gelten, bei q^2 ist die Anzahl eh gerade, entscheidend ist also allein n.
Wenn in n alle in der Primfaktorzerlegung vorkommenden Primzahlen in gerader Anzahl vorkommen, ist √n rational, sonst nicht.
Bsp: √7 ist nicht rational , denn die 7 kommt nur einmal vor.
Bsp: √8 ist nicht rational, denn 8= 2•2•2 und 2 kommt dreimal vor.
Bsp: √4 ist rational , denn 4=2•2 und 2 kommt zweimal vor.

Kommentar von PWolff ,

Korrolar (weitere interessante aber nicht unbedingt dazugehörende Folgerung):

Wenn wir einen echten Bruch haben - also eine rationale Zahl p/q, maximal gekürzt, mit q ≠ 0, so ist sein Quadrat p²/q² ebenfalls maximal gekürzt mit Nenner q² ≠ 0, also wieder ein echter Bruch.

Durch leichten indirekten Beweis ergibt sich damit: Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche oder eine irrationale Zahl.

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