Frage von amboss907, 63

Wie beweist man folgende Aussage?

Hallo zusammen!

folgende Aussage soll bewiesen werden: Wenn eine quadratische Funktion f(x)=x^2+px+q genau eine Nullstelle u besitzt, so gilt immer f ´(u)=0.

Leider weiß ich nicht so recht, wie ich das begründen soll, ich hoffe ihr könnt mir helfen! LG!

Antwort
von abibabo, 20

Eine quadratische Funktion hat keine oder 2 Nullstellen. Diese 2 Nullstellen können unterschiedlich oder gleich sein. Sind sie gleich, dann redet man von einer doppelten Nullstelle. Dies gilt in deinem Beispiel.

Wichtig ist nun, dass du ein Polynom (also auch deine quadratische Funktion) als Produkt der Nullstellen wie folgt schreiben kannst: f(x) = (x-N1) * (x-N2). N1 und N2 sind hierbei die Nullstellen der Funktion. Für dein Polynom gilt

f(x) = (x-u) * (x-u) = x^2 - 2 ux + u^2.
f'(x) = 2x - 2u.

Wenn du nun für x u einsetzt erhältst du f'(u) = 0

hilft das?

abibabo.de

Kommentar von kreisfoermig ,

ass du ein Polynom (also auch deine quadratische Funktion) als Produkt der Nullstellen wie folgt schreiben kannst: f(x) = (x-N1) * (x-N2).

Nicht ganz. Es gilt die Darstellung für ein jedes ƒ ∈ ℂ[X] mit Grad(ƒ)=2

      ƒ = a.(X–u1)(X–u2),

für Konstanten a, u1, u2 ∈ ℂ mit a≠0. Da in diesem Falle, ƒ=X²+pX+q, der Leitkoeffizient 1 ist, gilt ja a=1, aber nicht im Allgemeinen.

Kommentar von abibabo ,

Du hast natürlich recht.

Vielen Dank

Antwort
von Rubezahl2000, 31

Eine doppelte Nullstelle u, das bedeutet:
f(x) = (x-u)•(x-u)
      = x² - 2ux + u²
=> f'(x) = 2x - 2u
=> f'(u) = 2u - 2u = 0

Kommentar von SlowPhil ,

Das ist ganz offensichtlich ein Beweis. Vielleicht möchte der Aufgabensteller einen Beweis haben, in dem p und q vorkommen, aber das ist mit p=2u, q=u² und somit q=(½p)² schnell gemacht.

Antwort
von UlrichNagel, 44

Wenn eine quadratische Funktion eine Doppelnullstelle hat (nur eine Nullstelle stimmt nicht!), dann liegt der Scheitel auf der x-Achse und die Steigung der Tangente f ' = 0 !

Kommentar von einfachsoe ,

Nur eine Nullstelle gibt es ja bei quadratischen Funktionen nicht einmal.

Kommentar von SlowPhil ,

Doch, etwa bei f(x) = x² selbst zum Beispiel. Es ist natürlich eine doppelte Nullstelle, aber eben nur eine.

Kommentar von schuhmode ,

eine Doppelnullstelle hat (nur eine Nullstelle stimmt nicht!),

"Doppelnullstelle" ist nicht dasselbe wie "zwei Nullstellen".

  • f(x) = x² - 4 diese hat zwei Nullstellen, bei +2 und -2, keine davon ist eine Doppelnullstelle
  • f(x) = x² - 2x +1 diese hat genau eine Nullstelle, nämlich bei 1, und es handelt sich um eine Doppelnullstelle. Das "Doppel" bezieht sich nicht auf die Anzahl der Nullstellen (dass "1" eine Zahl ist und nicht zwei, dass sollte selbst Herr U.Nagel begreifen können), sondern auf die Anzahl der entsprechenden Linearfaktoren. x²-2x+1=(x-1)². Zweimal deselbe Linerafaktor -> eine Doppelnullstelle.
Kommentar von UlrichNagel ,

Habe ich etwa was Anderes gesagt? eine (1) Binompotenz mit 2 gleichen (übereinander liegenden) Nullstellen (2 gleiche Linearfaktoren)!

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