Frage von wanderingxmind, 84

Wie beweist man den Zwischenwertsatz für Ableitungen?

Hallo!

Es geht mir um den Beweis des Zwischenwertsatzes für Ableitungen (Zwischenwertsatz von Darboux). Mir ist bewusst, dass es schon oft online vorgeführt wurde in den verschiedensten Foren, allerdings schien das nie ein Beweis für genau meine Aufgabe. Denn in allen Beweisen, die ich bisher gelesen habe, geht es um Nullstellen und Vorzeichenwechsel der Ableitungsfkt etc. Vielleicht vestehe ich aber auch nur etwas falsch. Wir haben den Satz allerdings so aufgestellt:

f: R -> R diff'bar und a, b aus R. Dann gibt es für jeden Wert c (aus R) mit f '(a) < c < f '(b) eine Stelle a < u < b mit f '(u) = c.

Für Hilfestellungen, zB Beweisideen und konkrete Ansätze, wäre ich sehr dankbar.

LG Kein Mathestudent (Physiker)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von LC2015, 59

Wenn f stetig differenzierbar ist, folgt das Resultat sofort mit dem Zwischenwertsatz.

Wenn f differenzierbar ist, gilt das Resultat dennoch, was auf den ersten Blick erstaunlich ist.

Dies lässt sich wie folgt beweisen: Definiere die Hilfsfunktion g(x)=f(x)-cx. Wir wollen nun zeigen, dass g eine Extremstelle hat, denn dies bedeutet dann gerade 0=g'(u)=f'(u)-c, d.h. f'(u)=c.

Wir wissen, dass g stetig, ja sogar differenzierbar ist. Somit nimmt g auf dem Intervall [a,b] ein Maximum an, wir bezeichnen die Maximumsstelle mit u.

Jetzt bist du dran: Du musst nun zunächst zeigen, dass u im offenen Intervall (a,b) liegt, d.h. es gilt nicht u=a oder u=b. Danach musst du begründen, weshalb g'(u)=0 gilt und hast dann damit bewiesen, dass u die gewünschte Eigenschaft hat.

Kommentar von wanderingxmind ,

super, das hat mit schon mal sehr geholfen, danke =)

  Der Mittelwertsatz liefert mir da ja ganz gut ein passendes u aus (a,b), richtig?

Dass g'(u)=0 sein muss, ist ja anschaulich klar (denn g' wechselt ja das Vorzeichen). Andererseits muss g' ja gar nicht stetig sein... Woraus kann ich das das formal schließen?

Kommentar von wanderingxmind ,

Wobei - g ist ja stetig, und da g' das Vorzeichen wechselt, muss g ein Extremum haben. Also muss g' (u) = 0 sein. Aber reicht diese Argumentation schon aus? (Wir Physiker neigen dazu, Dinge zu erklären, statt mathematisch zu beweisen..)

Kommentar von LC2015 ,

Den Mittelwertsatz habe ich gar nicht benutzt.

Die Argumentation mit dem Vorzeichenwechsel reicht nicht aus, da g' nicht stetig sein muss. Aber du weißt eben, dass g auf dem Intervall [a,b] ein Maximum annimmt, da g stetig ist (Satz von Weierstraß). Diese Maximumsstelle habe ich u genannt. Du musst zeigen, dass u in (a,b) liegen muss (ist Teil der Aufgabe). Im Prinzip musst du nur begründen, dass u ein lokales Maximum von g sein muss, denn dann folgt automatisch g'(u)=0.

Kommentar von wanderingxmind ,

Ist mir auch eben aufgefallen, dass ich den Mittelwertsatz gar nicht brauche =)

Okay, damit hat sich mein Problem gelöst, vielen Dank :D (Jetzt muss ich nur noch im Skript finden, wo der Weierstraß sich versteckt hat... der hat mir nämlich die ganze Zeit gefehlt).

LG

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 47

Wenn f stetig differenzierbar ist, wende einfach den Zwischenwertsatz auf die Ableitungsfunktion f' an. Kümmere dich nicht darum, dass es eine Funktion f gibt und dass der Name dieser Funktion einen Strich zusätzlich hat.

Wenn f aber nicht stetig differenzierbar ist, haben wir Pech gehabt.

(gefundenes Beispiel: http://www.matheboard.de/archive/4381/thread.html )

Kommentar von wanderingxmind ,

Stetigkeit der Ableitung ist nicht vorausgesetzt; das ist ja der Witz am Darboux. Ansonsten, wie du gesagt hast, wäre es nur ein Fall für den Zwischenwertsatz...

Kommentar von PWolff ,

Stimmt - das ändert die Sache.

Intuitiv würde ich sagen, dass es damit zusammenhängt, dass f an den Stellen, wo sie (reell) differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist, eine wesentliche Singularität hat. Damit hat auch f' dort eine wesentliche Singularität und nimmt in jedem Intervall um diese Stelle jeden komplexen Wert mit höchstens einer Ausnahme an.

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