Frage von Teilzeizgott, 6

Wie beweist man, dass die Axiome gelten bzw. Wie kann es weder Ring noch Körper sein?

Zu zeigen ist, dass K:= Q + Wurzel 2 x Q := (a+ Wurzel 2 x b) ein Körper ist. Und das M:= Q + Pi x Q := ( a+ Pi x b) weder Körper noch Ring ist. a,b Elemente aus Q. Q sind die rationalen Zahlen.

Meine Idee waren die Axiome, die Kriterien sind. Und das wahrscheinlich das mit Pi, ein Körperaxiom, was zugleich Ringaxiom ist, verletzt.

Aber irgendwie passt das dann nie. Wie zeigt man solche Dinge? Vor allem hat man da eine bestimmte Vorgehens weise?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 6

Für die Körpereigenschaft einer Körpererweiterung reicht - wenn ich mich richtig erinnere - der Nachweis der Abgeschlossenheit unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Wie üblich Division durch 0 ausgenommen.). Hierbei kann man Addition und Multiplikation weglassen, die folgen aus Subtraktion und Division. 

Für die Ringeigenschaft einer Erweiterung ist die Abgeschlossenheit unter der Division nicht erforderlich, ansonsten wie oben.

In den von dir genannten Beispielen ist die Abgeschlossenheit unter Subtraktion trivial. (Das ist übrigens fast immer so.)

Für die Abgeschlossenheit von ℚ + √2 ℚ unter Division bringst du (a + b √2) / (c + d √2) auf einen rationalen Nenner. (Tipp: Erweitern mit (c - d √2))

Zu ℚ + π ℚ: Versuche, π² durch a + b π (a, b ∈ ℚ) darzustellen.

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