Frage von pizzakuchens, 62

Wie beweist man das?

Weisen Sie nach, dass es eine natürliche Zahl a > 1 gibt, für die der Term 82 ·(a8 − a4) (a8 und a4 sind Potenzen)

durch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden und mindestens zweistelligen natürlichen Zahlen teilbar ist.

Kann mir da bitte einer helfen?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 28

Faktorisiere die Klammer und schau dir das Ergebnis an.

Wenn du Glück hast, hast du damit schon zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

Kannst du a so wählen, dass 82 zu dieser Folge passt?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Ein bisschen seltsam ist die Aufgabe ja. Was soll noch die 82 dabei?

Drei aufeinanderfolgende Zahlen sind sicher (a-1), a und (a+1).
(a-1)(a+1) = a² - 1
Multipliziere ich diesen Term mit a, ergibt es (a³ - a).
Offenbar enthält dieser schon drei aufeinanderfolgende Zahlen.

Eine Multiplikation mit (a³ + a) ergibt (a⁶ - a²).
Das mal a² ist schließlich (a⁸ - a⁴).
Da bereits ein Teiler die drei Zahlen enthält, enthält das Produkt sie auch, selbst wenn man nochmal mit 82 multipliziert.

Ich verifiziere es mit 10, 11 und 12.
Es stimmt.
Die Zahl a = 11 und sie ist > 1.
Da ich eine finden sollte, - - -
hier ist eine.
Das Produkt ist natürlich auch durch 10 * 11 * 12 teilbar.

---

Und, ja, ich halte die Aufgabe für eine 9. Klasse für doch etwas sehr anspruchsvoll.

Antwort
von EstherNele, 21

Behauptung: 

82 * (a^8-a^4) / (a-1)*a*(a+1) = Element von N (natürliche Zahlen)

Lösungsansatz:
wenn es mir gelingt, den Term so umzuformen, dass der Quotient verschwindet, dann komme ich auf eine Behauptung, dass das Produkt aus 82 und irgendeinem Faktor (Summe/ Qotient) = Element {N} ist.
Wenn das bewiesen werden kann, dann gälte das für alle natürlichen Zahlen.

Lösung:   (Ich forme den obigen Term lediglich um !!!)

82 * (a^8-a^4) / (a-1)*a*(a+1) = 82 * (a^4-a²) * (a^4 + a²) / (a * (a² - 1))

= 82*a² *(a²-1)* (a^4-a²) / (a * (a² - 1))

= 82*a * a *(a²-1)* (a^4-a²) / (a * (a² - 1))

Im Zähler und im Nenner sind die Faktoren a und (a² -1) enthalten, welche rausgekürzt werden können.

Als Ergebnis bleibt   82*a * (a^4-a²) = 82 *(a^5 - a^3) = Element {N}

Da das Produkt aus natürlichen Zahlen stets wieder eine natürliche Zahl ist und (a^5 - a^3) > 0 ist, wenn a>1, ist das Produkt aus 82 als einer natürlichen Zahl und der Differenz der Potenzen für alle a>1 eine natürliche Zahl.

Da der Quotient allein durch Umformen weggefallen ist, kann man die Behauptung auf das Produkt zurückführen und beweist, dass diese Behauptung für alle a gilt, damit natürlich auch für alle a>11 (damit die Bedingung der aufeinanderfolgenden zweistelligen Zahlen erfüllt wird).

Letztlich gilt die Behauptung für alle a = Element {N} und a>1.

(Ich habe die Probe für a=5, a=7, a=14 und a=27 getestet, es stimmt für alle eingesetzten a.)

Antwort
von FelixFoxx, 11

82(a^8-a^4)=2 * 41 * a^4(a-1)(a+1)

2 * 41 *a^4(a-1)(a+1)/[(a-1) * a * (a+1)]

=2 * 41 * a³ ist eine natürliche Zahl

Antwort
von StormRider00, 23

Hallo pizzakuchens,

durch ausklammern von a^4 ergibt sich 82(a^4)(a^4-1)=82(a^2)(a^2)(a^2-1)(a^2+1), so dass dieser Term immer durch die aufeinanderfolgenden Zahlen (a^2-1)(a^2)(a^2+1) teilbar ist. Das ist einfach die 3. binomische Formel.

Ich hoffe ich konnte dir helfen!

Antwort
von FuHuFu, 12

Wir formen den Term wie folgt um

82 (  a^8  - a^4 )  = 82 a^4 ( a^4 - 1 ) 

a^4 - 1 und a^4 sind schon zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. 
Wenn sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl a > 1 die Zahl 82 als a^4 + 1 darstellen lässt, sind wir fertig. Probieren zeigt, dass für a = 3 gilt : a^4 + 1 = 82.

Also sind 80, 81 und 82 drei aufeinanderfolgende, zweistellige Zahlen mit der gewünschten Eigenschaft.






Antwort
von poseidon42, 33

82*(a^8 - a^4) = 82*(a^4 - a^2)(a^4 + a^2) = 82*(a^2 - a)(a^2 + a)*a^2*(a^2 + 1)

= 82*a^3*(a - 1)*(a + 1)*(a^2 + 1)

Bzw deutlicher:

= 82*a^2*(a^2 + 1)*[ (a - 1)*a*(a + 1) ]

Damit wäre schon mal gezeigt das es durch 3 aufeinanderfolgende Zahlen: a-1, a und a+1 teilbar ist. Bei dem Teil mit der Zweistelligkeit fällt mir nichts ein.

Kommentar von pizzakuchens ,

Denkst du das diese Aufgabe zu anspruchsvoll für die 9.Klasse sind?

Kommentar von poseidon42 ,

Eigentlich nicht. Ist eigentlich nur die binomschen Formeln anwenden.

Zu dem Teil mit der Zweistelligkeit, wähle einfach a >= 11 ,

damit folgt, dass das Produkt durch 3 aufeinanderfolgende zweistellige Zahlen größer gleich 10 teilbar ist.

Kommentar von pizzakuchens ,

Ja hast eigentlich Recht.

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