Frage von 11inchClock, 27

Wie beweise ich meine Aufgabe mit vollständiger Induktion?

Habe die Aufgabe:

Über der Summenformel steht n und darunter k=1: (2k-1) = n^2

Okay dann als erstes der Induktionsanfang:

n=1 und beides ergibt dann 1.

Jetzt die Vorraussetzung: n --> n+1

Tja und ab da weiß ich nicht weiter.. klar überall wo n steht kommt jetzt ein n+1 hin..

Antwort
von Myrine, 27

Jetzt musst du zeigen, dass wenn ∑ [k=1;n] (2k-1) = n^2 gilt,
auch ∑ [k=1;n+1] (2k-1) = (n+1)^2 gilt.

Also nimmst du dir eine Seite der 2. Gleichung und formst diese so um, dass du die 1. Gleichung einsetzen kannst und formst dann weiter um, bis du die komplette 2. Gleichung da stehen hast.

   ∑ [k=1;n+1] (2k-1)                     | letzten Summanden aus der Summe holen
= (2(n+1)-1) + ∑ [k=1;n] (2k-1)      | einsetzten der 1. Gleichung
= (2(n+1)-1) + n^2
= (2n+2)-1 + n^2
= 2n + 1 + n^2
= n^2 + 2n + 1                                | binomische Formel
= (n+1)^2

Antwort
von Mamuschkaa, 23

die aussage ist: die Quadrat Zahlen sind die Summe der ungeraden Zahlen
nur mal nebenbei
angenommen es gilt für n
du setzt n+1 statt n das ergibt
Über der Summenformel steht n+1 und darunter k=1: (2k-1) = (n+1)^2
Über der Summenformel steht n und darunter k=1: (2k-1) +2(n+1)-1= (n+1)^2
(Den letzten Part der Summe hab ich seperat hinter der Summe geschrieben)
n^2+2(n+1)-1= (n+1)^2
(ich habe die Summe von 1 bis n als n^2 geschrieben da wir annehmen das gilt)
n^2+2n+1=n^2+2n+1 stimmt
wir wissen es gilt für n=1 und wenn es für ein n gilt gilt es auch für das nächste n, also gilt es für alle n ab 1

Kommentar von 11inchClock ,

Momentchen, wenn man bei (2k-1) für k zahlen einsetzt kommt außer bei 1 immer etwas anderes als bei n^2 raus..

Kommentar von Myrine ,

Bei (2k-1) bestimmt nicht, aber bei der Summe von k=1 bis n von (2k-1) schon.

n=2
∑ [k=1;2] (2k-1) = (2*1-1) + (2*2-1) = 1 + 3 = 4
2^2 = 4

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Summe bis n ist n² nach Voraussetzung

und Summe bis n+1 ist dann

n² + 2(n+1) - 1 also n²+2n+2-1=n²+2n+1=(n+1)²  qed

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