Frage von coconutohg, 38

wie beweise ich diese aussage (A\C)v(B\C)=(AvB)\C?

das v soll ein vereinigt zeichen darstellen

wäre sehr dankbar für lösungsansätze

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ReimundAcker, 12

Man kann die Gleichheit der beiden Mengen beweisen, indem man zeigt, dass jede eine Teilmenge der anderen ist.

Ich verwende ∧ für „und“ und ∨ für „oder“, ⇒ für „folgt“ sowie den Quantor ∀ für „für alle“.

Ich verwende ferner ein System natürlichen Schließens, das z. B. in der Wikipedia erläutert wird.

Beweis von (A\C)∪(B\C) ⊆ (A∪B)\C :
1. x ∈ (A\C)∪(B\C)   // Annahme
2. x ∈ A\C ∨ x ∈ B\C   // wg. 1.
3. x ∈ A\C   // Annahme zwecks Fallunterscheidung nach 2.
4. x ∈ A ∧ x ∉ C   // wg. 3.
5. A ⊆ A∪B   // wg. Definition von ∪
6. x ∈ A∪B ∧ x ∉ C   // wg. 4. und 5.
7. x ∈ (A∪B)\C   // wg. 6.
8. x ∈ A\C ⇒ x ∈ (A∪B)\C    // wg. 3. und 7.
                                             // (nicht mehr abhängig von Annahme 3.,
                                             // s. u. Erläuterung)
9. x ∈ B\C   // Annahme zwecks Fallunterscheidung nach 2.
10. x ∈ B ∧ x ∉ C   // wg. 8.
11. B ⊆ A∪B   // wg. Definition von ∪
12. x ∈ (A∪B)\C   // wg. 10. und 11.
13. x ∈ B\C ⇒ x ∈ (A∪B)\C   // wg. 9. und 12.
                                               // (nicht mehr abhängig von Annahme 9.)
14. x ∈ A\C ∨ x ∈ B\C ⇒ x ∈ (A∪B)\C   // wg. 8. und 13.
15. x ∈ (A\C)∪(B\C) ⇒ x ∈ A\C ∨ x ∈ B\C   // wg. 1. und 2.
                                                          // (nicht mehr abhängig von Annahme 1.)
16. x ∈ (A\C)∪(B\C) ⇒ x ∈ (A∪B)\C   // wg. 14. und 15.
17. ∀x [ x ∈ (A\C)∪(B\C) ⇒ x ∈ (A∪B)\C ]   // wg. 16. und da 16. von keiner
                                                               // Annahme mehr abhängt, die x enthält
18. (A\C)∪(B\C) ⊆ (A∪B)\C   // wg. 17. und Definition von ⊆

Beweis von (A∪B)\C ⊆ (A\C)∪(B\C) :
1. x ∈ (A∪B)\C   // Annahme
2. x ∈ A∪B ∧ x ∉ C   // wg. 1.
3. x ∈ A∪B   // wg. 2.
4. x ∉ C   // wg. 2.
5. x ∈ A ∨ x ∈ B   // wg. 3.
6. x ∈ A   // Annahme zwecks Fallunterscheidung nach 5.
7. x ∈ A ∧ x ∉ C   // wg. 6. und 4.
8. x ∈ A\C   // wg. 7.
9. A\C ⊆ (A\C)∪(B\C)   // wg. Definition von ∪
10. x ∈ (A\C)∪(B\C)   // wg. 8. und 9.
11. x ∈ A ⇒ x ∈ (A\C)∪(B\C)   // wg. 6. und 10.
                                                // (nicht mehr abhängig von Annahme 6.)
12. x ∈ B   // Annahme zwecks Fallunterscheidung nach 5.
13. x ∈ B ∧ x ∉ C   // wg. 12. und 4.
14. x ∈ B\C   // wg. 13.
15. B\C ⊆ (A\C)∪(B\C)   // wg. Definition von ∪
16. x ∈ (A\C)∪(B\C)   // wg. 14. und 15.
17. x ∈ B ⇒ x ∈ (A\C)∪(B\C)   // wg. 12. und 16.
                                                 // (nicht mehr abhängig von Annahme 12.)
18. x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ (A\C)∪(B\C)   // wg. 11. und 17.
19. x ∈ (A∪B)\C ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B   // wg. 1. und 5.
                                                        // (nicht mehr abhängig von Annahme 1.)
20. x ∈ (A∪B)\C ⇒ x ∈ (A\C)∪(B\C)   // wg. 19. und 18.
21. ∀x [ x ∈ (A∪B)\C ⇒ x ∈ (A\C)∪(B\C) ]   // wg. 20. und da 20. von keiner
                                                               // Annahme mehr abhängt, die x enthält
22. (A∪B)\C ⊆ (A\C)∪(B\C)   // wg. 21. und Definition von ⊆

Erläuterung zum Beweisverfahren:
Jede Aussage in einer bestimmten Zeile des Beweises gilt nicht unbedingt absolut, sondern kann von Annahmen in früheren Zeilen abhängen. Nur die letzte Zeile des Beweises darf von keiner früheren Annahme mehr abhängen.Wenn man von einer Annahme p auf eine Aussage q geschlossen hat, kann man auf die Aussage p ⇒ q schließen, die nicht mehr von der Annahme p abhängt.

Antwort
von Mamuschkaa, 38

Die Lösung die auf jeden Fall durchgeht ist mit Fallunterscheidungen,
am besten durch eine Tabellen
Fall1: Element x in A,B,C
Fall2: Element x in A,B nicht in C
Fall3: Element x in A,C nicht in B
Fall4: Element x in B,C nicht in A
Fall5: Element x in A nicht in B,C
usw
Du kannst einige Fälle auslassen wenn du erwähnst
das das Problem zu A und B symetrisch ist also zb
Fall 3 und Fall 4 Analog gehen
Dann machst du einfach eine Wahrheitstabelle für jeden Fall,
ist in FallZ Element x in (A\C)U(B\C) genau dann, wenn Element x auch in (AUB)\C ?

Kommentar von coconutohg ,

habe das ganze ehrlichgesagt nur teilweise verstanden, weiß aber immernochnicht wie ich anfangen soll und was genau in der ahrheitstabelle abgebildet wird

Kommentar von Mamuschkaa ,

Die Antwort von ReimundAcker ist vollkommen richtig,
wenn du sie verstehst dann mach es so,
bei uns haben die Korrektore aber meine Methode bevorzugt weil sie noch stumpfsinniger ist ;-)
"U" ist die "Vereinigung"
"v" ist "oder"
das hat auch ReimundAcker so gemacht.
Desswegen mach ich dir noch mal Fall1 und 2 vor:
Fall1:  x ∈ A,B,C  (also x ist in allen enthalten)
1.Überprüfe: Ist x in (A\C)U(B\C) ?
x∉(A\C) weil (A\C) bedeutet: x ∈ A UND x∉C
x ist aber ∈C. dessweiteren
x∉(B\C)  (aus dem selben Grund)
also folgt:
x∉(A\C)U(B\C)
2.Überprüfe: Ist x in (AUB)\C?
x∈(AUB) , weil AUB bedeutet: x∈A oder x∈B, ist sogar beides erfüllt.
x∉(AUB)\C (aus dem selben grund wie bei x∉(A\C))
3.Vergleiche ob du bei beiden Seiten das selbe hast
x ist in Fall1 weder in (A\C)U(B\C) noch in (AUB)\C enthalten, somit stimmt es für Fall1.
Fall2 (mit weniger Begründen, du musst auch nicht so viel Begründen);

Fall2: x ∈ A,B   ,x∉C
1.  x∈(A\C),  x∈(B\C)  ⇒ x∈(A\C)U(B\C)
2.  x∈(AUB) ⇒ x∈(AUB)\C
3. x ist in beiden Mengen endhalten.

Fall3:x∈ A,C   ,x∉B
1.  ...
2.  ...
3.  ...

...

Such dir aus welche Methode du lieber magst ^_^

Antwort
von iokii, 30

Du zeigst, dass sie Teilmengen voneinander sind.

Kommentar von coconutohg ,

wie genau mache ich ds, das ist mein erstes übungsblatt

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