Frage von Flepset, 90

Wie beweise ich die Surjektivität?

Moin,

ich hab folgende Funktion:

f1: N-> N, n -> N+1 Dort hab ich nun bewiesen f(n1) = f(n2) => n1 + 1= n2+1 | -1 => n1=n2 somit injektiv f^-1(1) = 1-1 = 0 0 liegt nicht im Def. Bereich somit nicht surjektiv.

Nun meine Frage: Ich hab nun die gleiche Funktion nur R->R somit ist sie zwar immer noch Injektiv, jedoch ist sie nun auch surjektiv,

Def. von Surjektiv Für alle y aus Y gibt es ein x aus X: f(x) = y (d.h. Bild(f)= Y)

nur wie beweise ich, dass es surjektiv ist?

Antwort
von JonIrenicus, 75

Sei y in R. Dann ist x:= y-1 ebenfalls in R (also im Def.-Bereich) und es gilt f(x)=y.

Kommentar von Flepset ,

Deine antwort wurde mir jetzt erst angezeigt...Damit hab ich das bewiesen?

Wenn ich aber den Def N hätte würde es heißen

"sei y in N. Dann ist x=y-1 ebendfalls in N (also im Def. bereich) und es gilt f(x) = y

aber das ist bei N ja gar nicht so. Da hab ich ja 1 = 1-1 = 0 und 0 ist nicht im def. bereich. Wie schreib ich es dann richtig auf? Denn da hab ich nur geschrieben f-1(1) = 1-1 = 0  und 0 liegt nicht im Def bereich. Womit bewiesen ist das es nicht sujektiv ist. Oder verwechsel ich da jetzt was?

Kommentar von JonIrenicus ,

"Damit hab ich das bewiesen?" Ja.

"aber das ist bei N ja gar nicht so"

Das ist richtig, aber es geht ja auch nicht um N, sondern um R. Und wenn du von einer reellen Zahl 1 subtrahierst, ist das Ergebnis wieder eine reelle Zahl. Etwas ausführlicher:

Es ist zu zeigen, dass es zu jedem Element y der Zielmenge (R) ein x aus der Definitionsmenge (ebenfalls R) gibt, sodass f(x)=y ist. Sei also y ein beliebiges Element aus R. Wir definieren x:=y-1. Dann ist x eine reelle Zahl und liegt damit im Definitionsbereich von f. Außerdem gilt f(x)=y-1+1=y, womit die Behauptung bewiesen ist.

Kommentar von Flepset ,

Okay gut, nur woher nimmst du jetzt die +1? bei f(x) = y-1+1 =y

Kommentar von JonIrenicus ,

Na so ist deine Funktion doch definiert. f(x) = x+1.

Kommentar von Flepset ,

also nochmal, sry will das verstehen hab noch paar Aufgaben vor mir, daher versuch ich es lieber gleich ganz zu verstehen..

Wir haben n+1 als funktion. Def-bereich R->R

dies formen wir dann um und haben von y = n +1 dann n = y-1

n ist das selbe wie das Urbild, also f^-1. Somit haben wir dann..

f^-1 = y-1

 Nun sag ich, sei y in R, dann ist f^-1 =  y-1 ebendfalls in R.
Somit gilt f(n)= y , dass bedeutet es ist sujektiv.

und das aufgeschrieben wäre der Beweis den ich erbringen muss?

Kommentar von JonIrenicus ,

"f^-1 =  y-1 " damit setzt du voraus, dass das Urbild existiert, was du ja erst zeigen sollst. Nochmal vollständig:

Wir haben eine Funktion f: R → R, x ↦ x+1.

Zu zeigen ist, dass es zu jedem y aus R ein x aus R gibt, sodass f(x)=y ist. Sei y aus R. Dann erfüllt x:=y-1 diese Bedingungen, weil es 1. in R liegt und 2. f(x) = x+1 = (y-1)+1 = y ist.

Wenn du das "f^-1=" in dem Satz 

"Nun sag ich, sei y in R, dann ist f^-1 =  y-1 ebendfalls in R.
Somit gilt f(n)= y , dass bedeutet es ist sujektiv."

und das zweite s bei "dass" streichst und statt y-1 statt n schreibst (oder sagst: sei n:=y-1) ist es richtig.

Kommentar von Flepset ,

Alles klar Danke!

Werd mich dann mal an die nächste Aufgabe ran machen, diesmal mit mengen.. ggf. würde ich dich später anschreiben wenn ich da nicht weiterkomme, wenn es dir passt.^^

Kommentar von JonIrenicus ,

Bitteschön. :)

Kommentar von Flepset ,

Da ich dir nicht schreiben kann, schreib ich nochmal hier^^

Ich hab nun

f: NxN -> N, (n,m) -> n+m

Das ist wie vermutlich bekannt das kartesisches Produkt

Wenn ich jetzt injektiv oder nicht injektiv beweisen will, wäre es doch

f(n1,m1) = f(n2,m2) => n1+m1=n2+m2

ich kann es nicht umformen.  mein gedanke ist hier noch, wenn ich für n = 4 hätte und für m 2 dan wäre das 6 und wenn ich für m=4 hätte und n= 2 wäre es auch 6, so wäre es doch nicht injektiv, oder?

surjektiv wäre

f(n,m) = n+m = z

nur wonach muss ich denn hier jetzt auflösen?

Kommentar von JonIrenicus ,

"mein gedanke ist hier noch, wenn ich für n = 4 hätte und für m 2 dan wäre das 6 und wenn ich für m=4 hätte und n= 2 wäre es auch 6, so wäre es doch nicht injektiv, oder?"

Das siehst du richtig.

Zur Surjektivität: die Null gehört nach eurer Definition nicht zu den natürlichen Zahlen. Angenommen, ich gebe dir die Zahl 1, die ja in der Zielmenge der Funktion liegt. Gibt es zwei natürliche Zahlen, deren Summe 1 ist?

Kommentar von Flepset ,

Wegen injektiv , der Gedanke ist richtig, aber wie fasse ich den gedanken nun zusammen?

f(2,4)=f(4,2) => 2+4=4+2 -> 6=6 somit nicht injektiv?

Wegen Surjektiv:

Nein, ohne 0 ist es nicht Möglich die Summe 1 zu bekommen.

Also schreib ich

f(n,m) = n+m = z

f(z) = n+m
z= 0

f(0) = n+m

nicht möglich somit nicht sujektiv?

Also mein problem ist, ich kann die überlegungen anstellen, aber ich kann dies nicht aufschreiben.

Kommentar von JonIrenicus ,

Bisschen durcheinander.

Also wäre es injektiv, müsste aus f(a)=f(b) stets a=b folgen. Das ist aber nicht der Fall, du hast ja ein Gegenbeispiel gebracht und ein einziges Beispiel reicht aus, um eine Behauptung zu widerlegen. Also reicht es zu sagen f(2,4)=f(4,2), aber (2,4) =/= (4,2).

Zu surjektiv: du widerlegst das mit einem Gegenbeispiel. Aber:

"

f(n,m) = n+m = z

f(z) = n+m
z= 0"

in der ersten Zeile wiederholst du die Abbildungsvorschrift und führst eine neue Größe z ein. Da die davor noch nicht vorkam, ist es besser, n+m=: z zu schreiben. In der zweiten Zeile schreibst du f(z), aber f ist eine Funktion, die zweier Argumente bedarf. Demzufolge ist "f(z)=n+m" kein sinnvoller Ausdruck.

Der Beweis sieht etwa so aus:

Wäre die Funktion surjektiv, müssten für jede natürliche Zahl a zwei natürliche Zahlen m,n existieren, sodass m+n=a ist. Insbesondere müsste es nat. Zahlen m,n geben, sodass m+n=1 ist. Das ist aber nicht möglich, weil jede natürliche Zahl >= 1 ist. Also ist die Annahme, dass die Fkt. surjektiv ist, falsch.

Kommentar von Flepset ,

Zu dem Surjektiven teil, so ein "klartext" reicht als Beweis?. Dann brauch ich mir also gar nicht jedes mal überlegen, was für eine formel ich da nun hinschreiben muss, sondern es geht so einfach im "klartext"?

Kommentar von JonIrenicus ,

Klaro, Mathematik bedeutet nicht "alles in Formeln packen". :)

Kommentar von Flepset ,

Supi, dankeschön :D

Antwort
von Mikkey, 90

Edit quatsch,

Führe die Aussage, es gibt ein y aus F(R)... zum Widerspruch.

Kommentar von Flepset ,

Versteh ich jetzt ehrlich gesagt nicht.

Mir wurd jetzt gesagt das...

y= n+1 umstellen auf n= y- 1 => f^-1 = y-1

Das bedeutet, dass Urbild ist das gleiche wie y-1.

Nun muss ich aber noch zeigen das es für alle Y existiert und im def. liegt. Nur weiß ich nicht wie?

Kommentar von Mikkey ,

Annahme: f ist nicht sujektiv

=> es gibt ein y aus R so dass  kein x aus R existiert.

...

Wieso steht da als Thema Universität, wenn Du nicht einmal einen Widerspruchsbeweis führen kannst, das ist Thema der Mittelstufe.

Kommentar von Flepset ,

=> es gibt ein y aus R so dass  kein x aus R existiert.

ich sag also z.B. y = -3
n = -3 -1
n= -4

-4 liegt in R

somit ist es ein wiederspruch und bewiesen, durch einen Indirekten Beweis.

Kommentar von JonIrenicus ,

Nein, du kannst dir das y nicht einfach aussuchen. Siehe meine Antwort für einen Einzeiler.

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