Frage von Martinmul, 57

Wie beweise ich die Linearität dieser Abbildung?

Guten Abend allerseits,

Ich bin gerade frisch in das Thema 'lineare Abbildungen' eingestiegen und stosse (wie gewohnt) auch schon auf Probleme beim Lösen von Übungsaufgaben. Aus der Theorie ist mir klar, dass eine Abbildung L: V --> W zwischen zwei reellen Vektorräumen V und W linear ist, wenn für alle v,w ∈ V, λ ∈ R gilt:

L(v + w) = L(v) + L(w)

L(λv) = λL(v)

soweit alles klar.

Nun habe ich aber eine ganze Reihe von Übungsaufgaben der Form: sei w(a,b,c) ∈ R^3, w ≠ 0 vorgegeben. Rechnen sie nach, dass die folgenden Abbildungen linear sind, und finden sie jeweils die entsprechende Matrix (bzgl. der kanonischen Basen).

(a) L: R^3 --> R^3, definiert durch L(v) = (w) x (v) für alle v ∈ R^3

(b) L: R^3 --> R, definiert durch L(v) = ⟨w, v⟩ für alle v ∈ R^3

(c) L: R^3 --> R^2, definiert durch L(v) = det(v, (a,b)) für alle v ∈ R^2

usw.

Ich weiss, dass ich wohl beweisen muss, dass die zwei oben erwähnten Bedingungen auf diese Abbildungen zutreffen. Ich habe eigentlich nicht das Gefühl, dass dies ein sonderlich schweres Unterfangen sein sollte wenn man den Dreh raushat, stehe aber momentan total auf dem Schlauch und weiss überhaupt nicht, wie und wo zu beginnen ist. Könnte mir jemand vielleicht an einem der oben erwähnten Beispiele erklären, wie man vorzugehen hat? Ich bin im Internet diesbezüglich leider nicht fündig geworden... Der Teil mit den kanonischen Basen ist mir auch noch keineswegs schlüssig, aber das werde ich wohl als nächsten Schritt angehen müssen. Ich fühle mich momentan einfach überfordert und habe das Gefühl, dass weder mein theoretisches Wissen oder meine Materialien zum Thema ausreichen, um derlei Aufgaben zu lösen. Ich wäre also um jede Hilfe ausserordentlich dankbar!

Besten Dank im Voraus und einen schönen Abend.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

Die kanonischen Basen von ℝ^n setzen sich aus den Vektoren zusammen, bei denen genau eine Koordinate 1 ist und die übrigen 0. Also z. B. bei ℝ^3: {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}.

Schauen wir uns mal das Beispiel mit dem Kreuzprodukt an, das scheint mir das schwierigste zu sein:

Sei w = (w1,w2,w3) und v = (v1,v2,v3). Dann ist

w × v = (w2 v3 - w3 v2, w3 v1 - w1 v3, w1 v2 - w2 v1)

Damit lässt sich für v = a + b und für v' = λ v die Linearität durch Einsetzen nachweisen.

Für die Abbildungsmatrix:

L(v) = M · v

= ( (m11,m12,m13), (m21,m22,m23), (m31,m32,m33) ) · (v1,v2,v3)

=(m11 v1 + m12 v2 + m13 v3, m21 v1 + m22 v2 + m23 v3, m31 v1 + m32 v2 + m33 v3)

Dieser Ausdruck muss für alle v dem obigen Ausdruck für w × v sein.

Das bedeutet für die erste Koordinate:

m11 v1 + m12 v2 + m13 v3 = w2 v3 - w3 v2

Dies muss gelten, egal was man für v1, v2, v3 einsetzt, also setzen wir diese alle bis auf jeweils eins gleich 0:

m11 v1 = 0

m12 v2 = -w3 v2

m13 v3 = w2 v3

Daraus können wir die erste Zeile der Matrix ablesen.

Entsprechend für die anderen Zeilen.

Zusammengefasst ist M gleich

   0  -w3   w2
w3 0 -w1
-w2 w1 0
Kommentar von Martinmul ,

Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort! Ich verstehe es jetzt schon viel besser, nur noch eine Frage: Wie genau hilft mir das Einsetzen des Kreuzprodukts beim Beweisen der Linearität z.B bei L(v+w)= L(v) + L(w)? Es ist ja nur L(v) definiert, ich weiss leider nicht so recht was ich für die beiden andere  Komponenten einsetzen soll...

Kommentar von PWolff ,

Die Aufgabe ist insofern überhaupt nicht anfängerfreundlich formuliert, als der Buchstabe w für zwei völlig verschiedene Größen verwendet wird - einerseits als Parameter der linearen Abbildung, andererseits als ein beliebiger Vektor, der in dieselbe Kategorie wie v gehört.

Deshalb habe ich ja auch die Buchstaben a und b bei der Zerlegung von v gewählt. (Ich hätte auch v1 und v2 nehmen können, dann wäre aber die Notation der Komponenten wie v23 möglicherweise verwirrend gewesen.)

Du setzt überall statt "v" "a + b" ein. Dann formst du diesen Ausdruck so um, dass am Ende statt "L(a+b)" "L(a) + L(b)" steht.

Kommentar von PWolff ,

Nachträglich ist mir aufgefallen, dass die Wahl von a und b für diese Vektoren insofern ungünstig ist, als diese Buchstaben schon für Koordinaten von w verwendet werden.

Kommentar von Martinmul ,

Vielen Dank für deine erneute Antwort! Ich habe gerade alle Beispiele zu Hause gelöst und verstehe es jetzt endlich. Du hast mir wirklich sehr geholfen - ich weiss nicht, woher ich sonst so gute und zuverlässige Hilfe bekommen hätte!

Antwort
von iokii, 24

Du betrachtest einfach L(v+k) bzw. L(lamda * v) und versuchst dann, mittels Termumformungen L(v)+L(k) daraus zu machen. Am besten schriebst du dir beide Seiten erst mal hin, dann solltest du recht schnell sehen, was zu tun ist.

Antwort
von Stnils, 30

Bei mir im Ingenieurstudiengang hat es gereicht das Folgende zu zeigen. Kann gut sein, dass im Mathematikstudium mehr gefordert wird.

u = (a_1  a_2  a_3)^T       a_1 a_2 a_3 ∈ R

v = ( b_1  b_2  b_3)^T       b_1 b_2 b_3 ∈ R

w = (c_1  c_2  c_3)^T       c_1 c_2 c_3 ∈ R

Additivität:

L(u+v) 

= (c_1  c_2  c_3) * (a_1+b_1  a_2+b_2  a_3+b_3)^T 

=  (c_1*(a_1+b_1)  c_2*(a_2+b_2)  c_3*(a_3+b_3))^T 

= (c_1*a_1  c_2*a_2  c_3*a_3)^T + (c_1*b_1)  c_2*b_2  c_3*b_3)^T

= L(u) + L(v)

Homogenität:

L(λv)

= ( λ *a_1  λ *a_2  λ *a_3)^T

= λ * (a_1 a_2 a_3)^T

= λ L(v)

Kommentar von Stnils ,

Ich sehe gerade, dass mein Beispiel zur Additivität leider falsch ist. Ich hab als Abbildungsvorschrift eine Matritzenmulitplikation statt dem Kreuzprodukt angewandt...


Kommentar von Martinmul ,

vielen Dank für deine Antwort, das hilft wirklich viel! :)

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