Frage von Lilu20, 45

Wie beweise ich die Formel: cos^2(x/2) = ( 1  +  cos x ) /2?

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 28

Das riecht für mich ganz schwer nach dem Additionstheorem für cos:

cos(a+b) = cos(a)·cos(b) - sin(a)·sin(b)

Wenn Du a=b=x/2 setzt, müsstest Du weiterkommen :-)

Antwort
von surbahar53, 35

Formel 1: cos (2w) = cos^2(w) - sin^2(w)
Formel 2: sin^2(w) + cos^2(w) = 1

also gilt

cos ( 2w ) = cos^2(w) - sin^2(w)

cos ( 2w ) = cos^2(w) - ( 1 - cos^2(w) )

cos ( 2w ) = 2 * cos^2(w) - 1

Jetzt  cos^2(w) auf die linke Seite

cos^2(w) = ( cos ( 2w ) + 1 ) / 2

und jetzt mit w=x/2

cos^2( x/2 ) = ( cos ( x ) + 1 ) / 2

Kommentar von Lilu20 ,

Was passiert mit dem cos(2w) wenn du cos ^2 (w) rüberholst? 

Kommentar von Tannibi ,

Du kannst es dir leichter vorstellen, wenn du aus

cos ( 2w ) = 2 * cos^2(w) - 1

Das hier machst:

cos ( 2w ) + 1 = 2 * cos^2(w)

(cos ( 2w ) + 1) / 2 = cos^2(w)

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