Frage von maxim008, 50

Wie bestimmt man Potenzen von komplexen Zahlen?

Hallo,

ich soll die Potenzen z^2, z^3, z^4, ... der folgenden komplexen Zahlen bestimmen.

Und in Polarform rechnet es sich leichter.

Dabei habe ich jetzt mal die erste Aufgabe versucht:

a)

z = e^(60°*i)

z = cos(60°) + isin(60°) = 1/2 + (√3/2)i

Aber wie bestimme ich jetzt die Potenzen davon?

Antwort
von Halswirbelstrom, 36

... vielleicht mal so, denke ich:

Z = │Z│ · e^(j·φ) ,    Z^n = (│Z│ · e^(j·φ) )^n ,   Z^n = │Z│^n · e^(j·n·φ)

Z² = │Z│² · e^(j·2·φ)   →  Z² = │Z│² · { cos(2·φ) + j·(sin(2·φ) }

LG

Kommentar von maxim008 ,

Und wie kommst du jetzt auf die quadratische Potenz?

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Das ist das erste Beispiel Deiner Aufgabenstellung.

Kommentar von maxim008 ,

Achso, soll ich etwa nur der Reihe nach jede Aufgabe mit einem höheren Potenz potenzieren? Dann ist das ja voll einfach...

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Aus diesem Grunde hat man wohl die Eulersche Form entwickelt.

Kommentar von maxim008 ,

Eine letzte Frage hätte ich da immernoch: Wieso muss man
φ mit 2 multiplizieren, und nicht potenzieren? Also:
│Z│² · { cos(φ)² + j·(sin(φ)² }

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Die Exponentialform einer komplexen Zahl lautet:

Z = │Z│· e^(j·φ)     

Unter Anwendung einer Reihenentwicklung lässt sich zeigen,
dass gilt:   e^(j·φ) = cos(φ) + j·sin(φ)

Substitution:   φ = 2·α  

Daraus folgt :   e^(j·2·α) = cos(2·α) + j·sin(2·α)

Folglich ist:   Z² = │Z│² · e^(j·2·α) = │Z│² ·{ cos(2·α) + j·sin(2·α) }

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Eine alternative Beziehung erhält man mit der binomischen Formel: 

e^(j·2·φ) = { (cos(φ) + j·sin(φ) }² = cos(2·φ) + j·sin(2·φ)

Bei der Herleitung ist zu beachten, dass  j² = -1  ist.

LG

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