Frage von emma675, 38

Wie bestimmt man einen Funktionsterm?

Antwort
von poseidon42, 11

Also unsere Funktion ist ja schon mal sinusförmig, dass heißt sie hat die Form:

f(x) = a*sin(w*x + k) + c

Wir müssen nun die Konstanten a,w,k und c bestimmen.

Bei a handelt es sich um die Amplitude, die berechnet sich aus dem Mittel des höchsten und tiefsten erreichten y-Wertes, hier folgt:

a = (2,5 - 0,5)/2 = 1

Bei c handelt es sich um das Absolutglied und ist ein Maß für die Verschiebung der Sinuskurve entlang der Y-Achse. Man berechnet diese ebenfalls über den höchsten und tiefsten erreichten y-Wert (die seien hier mal y1 und y2):

So gilt:   c = (y1 + y2)/2

Hier folgt also:

(2,5 + 0,5)/2 = 1,5

Als nächstes ermitteln wir w, die Geschwindigkeit mit der sich das Winkelargument ändert, für w gilt:   w = 2*pi/dx

dx ist dabei die "Periodendauer" (häufiger T ). Du nimmst nun die x-Werte von zwei aufeinaderfolgenden Extrema und berechnest daraus die Differenz und multiplizierst dies mit 2, seien diese hier x1 und x2 und es gelte x2 > x1 , dann folgt nämlich:

dx = 2*(x2 - x1) 

Hier folgt mit x1 = pi/2   und  x2 = 1,5pi

--> dx = 2*(1,5pi - 0,5pi) = 2*pi

Einsetzen in w = 2pi/dx  liefert dann hier:   w = 2pi/2pi = 1


Zu guter letzt bestimmen wir die Verschiebung im Argument k. Dazu setzen wir in unsere bisherige Gleichung einfach für x = 0 ein und erhalten dann:

f(0) = a*sin(k) + c   

Umformen nach k liefert dann:

arcsin( (f(0) - c)/a ) = k


Wenn wir das hier anwenden erhalten wir dann:

f(0) = 1,5     a = 1     c = 1,5     w = 1

---> k = arcsin( (1,5 - 1,5)/1 ) = arcsin(0) = 0

Also erhalten wir:  k = 0

Insgesamt erhalten wir also in deinem Fall:

f(x) = 1*sin(1*x + 0) + 1,5 = sin(1x) + 1,5

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 3

man sieht eine "harmonische Schwingung"

y=f(x)=a * cos(w *x + b) + c

c=1,5 sieht man aus den Diagramm x-Achse ist um diesen Wert nach oben verschoben.

Maximum bei x=pi/2 f(pi/2)=2,5

b=- pi/2 der Graph wird um pi/2 nach rechts verschoben

b>0 Graph wird nach links verschoben

Bestimmung von w

2,5= 1 *cos(w * pi/2- pi/2) +1,5

arc cos(2,5 - 1,5)=w * pi/2 - pi/2

w= (arc cos(1) +pi/2) * 2/pi= 1

gesuchte Funktion f(x)= 1 * cos(1 *x - pi/2) +1,5

Probe : x=pi/2 ergibt f(pi/2)=2,5 stimmt mit den Diagramm

a=1 ist der Abstand von der Mittellinie zu Maximum ymax=2,5 das sieht man so schon,da braucht man erst gar nicht rechnen.

HINWEIS : Man kann diese Funktion auch mit f(x)=1 *sin(w * x +b) +1,5

darstellen. Dann ist nur b ein anderer Wert

b<0 verschiebt nach rechts

b>0 verschiebt nach links 

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