Frage von rananna1849, 38

Wie bestimmt man durch Argumentieren bestimmte (reelle) Zahl(en) y bei einer vorgegebenen Gleichung ohne Zahlen?

Irgendwie steh ich grad bisschen aufm Schlauch. Normalerweise fällt mir sowas echt nicht schwer, aber das versteh ich irgendwie nicht. Wie bekommt man durch Argumentieren/Begründen raus, welche reelle Zahl(en) 2 Ergebnisse für y hat, bei Beispielsweise x*|x|-2x=y . Ich hätte jetzt alle negativen Zahlen gesagt, aber ich bin mir unsicher, ob das überhaupt stimmt. Der Bruchstrich verunsichert mir total!

Ich bin wirklich dankbar für jede Hilfe, und sei es nur ein Gedankenanstoß

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 6

Du sollst ja anscheinend durch "argumentieren" weiter kommen:

Die Betragsfunktion teilst Du in ihre 2 Teilfunktionen.

y=x²-2x=(x-1)²-1 und x>=0

y=-x²-2x=-(x+1)²+1 und x<0

Du hast also 2 Normalparabeln,  mit S(1|-1) und nach oben offen und mit S(-1|1) und nach unten offen, die jeweils bei x=0 "gekappt" werden. Zudem hast Du hier eine Punktsymmetrie zum Ursprung. Die Punkte der schräg gegenüber liegenden Quadranten sind also bis aufs Vorzeichen gleich. Quadranten 2 und 4 haben jeweils 2-mal den gleichen Funktionswert... außer am Scheitelpunkt. Quadranten 1 und 3 haben nur einen Funktionswert.

Somit hast Du quer gerechnet zwischen den Scheitelpunkten 3 gleiche Funktionswerte, außerhalb einen und an den Scheitelpunkten genau 2.

Antwort
von ralphdieter, 4

Ich würde etwa so argumentieren:

  • f(x) = x·|x|-2x ist punktsymmetrisch zum Ursprung — f(-x)=-f(x).
  • Für x≥0 zeigt f eine Parabel mit Nullstellen bei 0 und 2 und Scheitel in (1;-1).
  • Auf ganz IR läuft das Schaubild also von -∞ durch (-2;0), HP bei (-1;1), durch (0;0), TP bei (1;-1), durch (2;0) und dann ab nach +∞.

An einer Skizze kannst Du nun leicht ablesen:

  • Für y>1 (über dem HP): 1 Lösung (irgendwo bei x>2)
  • Für y=1: 2 Lösungen (HP und irgendwo bei x>2)
  • für -1<y<1: 3 Lösungen (vor dem HP, zwischen HP und TP, nach dem TP)
  • Für y=-1: 2 Lösungen (irgendwo bei x< -2 und am TP)
  • Für y<-1: 1 Lösung (irgendwo bei x< -2)

(Die y-Werte entsprechen im Schaubild waagrechten Geraden, die das Schaubild von f je nach Lage ein- bis dreimal schneiden.)

Antwort
von rumar, 31

Mir scheint deine Frage nicht klar gestellt.

Für jede beliebige reelle Zahl von x hat der Ausdruck y mit   y = x * |x| - 2 x  jeweils nur einen einzigen bestimmten Zahlenwert !

Wie lautete denn der Aufgabentext im Original genau ??


War die Frage vielleicht:  "Für welche Zahlenwerte von y hat diese Gleichung zwei Lösungen für x ?"

Das wäre eine ganz andere Fragestellung als das, was du geschrieben hast !

Kommentar von rananna1849 ,

die fragestellung war im genauen: "bestimme diejenigen reellen Zahlen y, für die die gleischung x*|x|-2x=y genau zwei verschiedene lösungen für x hat." und man soll begründen/argumentieren

Kommentar von Tannibi ,

Das ist doch was völlig anderes und ungefähr das Gegenteil
von dem, was in der Urprungsfrage steht.

Kommentar von rananna1849 ,

okay, sorry. aber kannst du mir trotzdem bei dem, was ich jetzt geschrieben habe, helfen? weil weiter komm ich trotzdem nicht

Kommentar von Tannibi ,

y = 0, da sind die Lösungen x = 2 und x = -2.
Aber mehr sehe ich gerade nicht.

Kommentar von kreisfoermig ,

für y=0 gibt es DREI Lösungen: {0; ±2}.

Antwort
von valvaris, 38

Wenn ich annehme, dass |x| ein Betrag von x sein soll, also halt immer die positive Zahl, dann kommt immer dann ein doppeltes Ergebnis, wenn man x² stattdessen schreiben könnte.

also wenn x * |x| = x² sein soll, dann trifft das nur auf positive x größer 0 zu.

Kommentar von rananna1849 ,

okay, danke schon mal. das mit dem betrag stimmt, aber woher kommt das x^2?  und warum nur positive x?, kann doch trz. negativ sein? Entschuldigung, wenn ich so doof frage, aber ich will es halt echt einfach nur verstehen und ich raff es nicht //: 


Kommentar von valvaris ,

kein Problem.

Du kriegst nur 2 Ergebnisse, wenn du beim Auflösen ne Wurzel ziehn kannst - eben die Gegenoperation zu x².

Wenn du aber negative zahlen einsetzt - ich nehm mal -2, dann kriegst du -2 * 2 -(2*-2) = 0 also nur ein eindeutiges Ergebnis.

bei x * |x| muss x = |x| sein, wenn es zum Quadrat werden soll.

Kommentar von rananna1849 ,

okay, danke! dann ist das jetzt soweit klar, die frage, woher du das x^2 nehmen willst, bleibt aber? das gäng doch nur, wenn x=2 wäre, da 2*2=2^2 ist, richtig? und somit wäre 2 die Antwort. Stimmt das so?  oder denk ich immer noch in die falsche Richtung? ||: (| :

Kommentar von valvaris ,

Also erstmal, das x² kriege ich, wenn ich x * |x| einfach hinnehme und die Betragsstriche weg lasse. Im Fall, x ist immer > 0, dann ist es egal, ob da 2 * |2| oder 2 * 2 steht, es kommt immer das selbe heraus.

Dann hat man noch x * x - 2x = x²-2x.

Aber ich bin grade am Grübeln.

Laut der originalen Fragestellung heißt es, es sollen 2 y-Ergebnisse rauskommen, was für eine Gleichung aber eigentlich unmöglich ist, da Gleichungen mit einem eindeutigen y immer nur ein einziges Ergebnis dafür bringen können.

Kann es sein, dass 2 verschiedene x-Werte gefunden werden sollen ?

Kommentar von rananna1849 ,

ja, genau. das hab ich auch grad nochmal mitbekommen... Hab mich einfach immer komplett verlesen. Sorry! 

Kommentar von valvaris ,

Nichts zu entschuldigen - so konnt ich nochmal meine Logikfähigkeiten auffrischen.

Kommentar von rananna1849 ,

oh, okay. doch nicht ganz! hab mir die aufgabe jetzt nochmal genau durchgelesen und habs jetzt. danke auf jeden fall trotzdem! habs einfach falsch verstanden (:

Antwort
von kreisfoermig, 11

Siehe diese Frage von [Tobiasop08o]:

https://www.gutefrage.net/frage/hilfe-mit-der-gleichung-sxx-2x?foundIn=list-answ...

Sie ist exakt die gleiche Aufgabe und lässt sich genauso lösen. Die Lösung ist: für y∈{±1} gibt es exakt zwei Lösungen für x. (Dort bezeichnet der Fragesteller die andere Variable s statt y.)

Antwort
von Tannibi, 19

Mir fällt überhaupt keine Zahl ein,
für die der Term zwei Ergebnisse hat.
Auch nicht alle negativen -

-2 * |-2| - 2 (-2) =

-2 * 2 - 2 (-2) = 0.

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