Wie bestimmt man die Scheitelform?

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5 Antworten

f(x) = 18x - 3x²

Hier ist die quadratische Ergänzung anzuwenden:

f(x) = -3x² + 18x

= -3(x² - 6x)

= -3(x² - 6x + 3² - 3²)

= -3((x - 3)² - 3²)

= -3(x - 3)² - 3*(-3²) 

= -3(x - 3)² + 27

Also ist der Scheitelpunkt bei (3 | 27).

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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Kommentar von xxlillyxx04
24.09.2016, 18:14

Habe es verstanden. Super erklärt, danke!!

1

Ich beschreibe hier ein Verfahren, das nicht zum Auswendiglernen gedacht ist, sondern dafür, es zu verstehen und sich daraus die erforderlichen Gleichungen selbst herleiten zu können. Wenn man dieses Verfahren verstanden hat, kann man es auch auf viele andere Aufgabentypen anwenden.

Ganz allgemein entsteht die Scheitelpunktsform durch eine Koordinatentransformation, und zwar um eine Verschiebung, sodass der Scheitelpunkt - wenn man ihn in den neuen Koordinaten angibt - genau im Koordinatenursprung liegt.

Diese Verschiebung ist gleichbedeutend mit einer Verschiebung des Koordinatensystems in den Scheitelpunkt.

Wenn wir die Koordinaten im Scheitelpunktssystem x' und y' nennen, ist für quadratische Funktionen allgemein

y' = a' x'^2

(wobei a' eine geeignete Konstante ist)

Die Verschiebung kommt wie folgt zustande:

x' = x - x_S

y' = y - y_S

Wobei x_S und y_S die Koordinaten im Scheitelpunktssystem sind.

Setzen wir diese Werte in die allgemeine Gleichung für die quadratische Funktion in Scheitelpunktsform (für Erbsenzähler: in die Koordinatengleichung des Graphen der allgemeinen quadratischen Funktion in Scheitelpunktkoordinaten) ein:

y' = a' x'^2

(y - y_S) = a' (x - x_S)^2

Andererseits lautet die allgemeine Gleichung der quadratischen Funktion:

y = a x^2 + b x + c

wobei in diesem Fall

a = -3

b = 18

c = 0

sind.

Setzen wir dieses y in die obige Gleichung ein:

((a x^2 + b x + c) - y_S) = a' (x - x_S)^2

Diese beiden Ausdrücke sollen für alle x gleich sein - sie beschreiben ja letztlich dieselbe Funktion.

Du kannst natürlich 3 verschiedene x-Werte einsetzen und das Gleichungssystem nach a', x_S und y_S auflösen; das übliche Verfahren ist aber ein "Koeffizientenvergleich", d. h. man vergleicht einzeln die Koeffizienten (sprich "ko-effizienten") / Vorfaktoren von x^2, x^1 und x^0.

Dazu multiplizieren wir beide Seiten aus und sortieren nach Potenzen von x:

(a) x^2 + (b) x + (c - y_S) = (a') x^2 + (-2 a' x_S) x + (a' x_S^2)

Koeffizientenvergleich ergibt:

x^2: a = a'

x^1: b = -2 a' x_S

x^0: c - y_S = a' x_S^2

Hier setzt du noch die Werte für a, b und c aus der Aufgabenstellung ein und löst das Gleichungssystem nach a', x_S und y_S auf, was in dieser Reihenfolge sehr leicht geht.

Dann kannst du die Gleichung in Scheitelpunktform angeben:

y - y_S = a' (x - x_S)^2

Oder, weil man gern das y für sich allein auf einer Seite stehen hat:

y = a' (x - x_S)^2 + y_S

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Na, denn wollen wir doch mal wieder.
Achtung! Deine Aufgabe ist nicht typisch, weil das Absolutglied fehlt.
Trotzdem kann man eine Scheitelpunktbestimmung vornehmen. Aber erst mal richtig sortieren und dabei gleich die Vorzahl von x² ausklammern.

y = -3 (x² - 6x)      

Die Theorie der Bestimmung liegt in den binomischen Regeln.
Man ergänzt quadratisch zu einem vollen Binom.
Das geschieht mit Halbieren, Quadrieren der Vorzahl von x.

y = -3 (x² - 6x + 3²) + 27

Warum noch +27 ?

Hinten in der Klammer steht 3² = 9.
Das muss ich noch mit -3 multiplizieren, ergibt -27.
Die fehlen jetzt in der Gesamtfunktion, deshalb addiere ich sie gleich wieder hinter Klammer. Dann forme ich um in das Binom:

y = -3 (x - 3)² + 27            Scheitelpunktgleichung

Man muss die x-Koordinate aus der Klammer noch umdrehen. Die andere wird so gelassen. Daher

Scheitelpunkt  S (+3 | +27)

Noch ein bisschen Theorie. Wichtig!

http://dieter-online.de.tl/Quadratische-Erg.ae.nzung--k1-Technik-k2-.htm
http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

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y= -3x²+18x      durch -3 teilen;

y/-3 = x² - 6x    quadratische Ergänzung, Binomische Formel

y/-3 = (x-3)² - 9        mal (-3)

y = -3(x-3)² + 27

S(3 ; 27)

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allgemeine Form y=f(x)= a2*x^2 +a1*x+ao 

Scheitelkoordinaten bei x= - (a1)/(2 *a2) und y= - (a1)^2/(4 *a2) + ao

bei dir a2= - 3 a1= 18 und ao=0 eingesetzt

x= - (18)/( 2 *(-3) =3 und y= - (18)^2/(4 * - 3 + 0=27

Scheitelpunktform y=f(x)= a2 * (x +b)^2 + C

mit b= - x= - 3 und C=y= 27 eingesetzt

y=f(x)= - 3 * (x - 3)^2 + 27

2. Möglichkeit über die "quadratische Ergänzung,steht in deinen Unterlagen,ist aber aufwendiger.

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