Frage von GradWach, 34

Wie bestimmt man die orthonormale Basis?

Kann mir das jemand möglichst simpel erklären? Vielen Dank schonmal.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 22

hier schön langsam erklärt!

Kommentar von GradWach ,

Vielen Dank!

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 28

Ich setze jetzt voraus, dass du mit dem Begriff des Erzeugendensystems und der Basis vertraut bist, denn sonst würdest du wahrscheinlich nicht so konkret nach der orthonormal Basis von V fragen.

Der Begriff einer orthonormalen Basis für einen Vektorraum V setzt voraus, dass es sich um einen Skalarproduktraum handelt, also ein Skalarprodukt auf V definiert sein muss.

Dieses Skalarprodukt muss für zwei verschiedene Basisvektoren 0 sein, so ist Orthogonalität definiert. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst muss hingegen 1 sein. In diesem Fall heißt der Vektor normiert.

Wenn man irgend eine Basis von V hat und eine Orthonormalbasis daraus machen möchte, gibt es hierfür das Gram - Schmidt - Verfahren, welches im Wesentlichen wie folgt funktioniert:

1. Wähle einen basisvektor aus und bilde das Skalarprodukt mit sich selbst. Sollte es nicht eins sein, dann ziehe die Wurzel daraus und teile den Vektor dadurch.

2. Wähle einen weiteren Basisvektor und überprüfe, ob das Skalarprodukt mit dem ersten 0 ist. Falls nicht, multipliziere das Ergebnis mit dem ersten Vektor und ziehe das, was dabei herauskommt, vom zweiten Vektor ab.

3. Bildet das Skalarprodukt des dadurch erhaltenen Vektors mit sich selbst. Ist es nicht 1, so verfahre genauso wie mit dem ersten Vektor.

Kommentar von GradWach ,

Super, vielen Dank! Kann ich keine ONB bilden, wenn keine othogonalität vorliegt?

Kommentar von SlowPhil ,

Kann ich keine ONB bilden, wenn keine othogonalität vorliegt?

Natürlich! Die ganzen Vorschriften oben sind eine Anleitung dazu, aus einer nicht orthonormalen Basis eine orthonormale zu machen.

Antwort
von Roach5, 26

Bitte spezifiziere deine Frage. Was meinst du mit "die" orthonormale Basis, meistens gibt es unendlich davon. Kennst du das Gram-Schmidt-Verfahren und verstehst du es?

LG

Kommentar von GradWach ,

Ich habe davon schon gehört aber was das so genau ist weiß ich nicht. Wegen "der" ONB...naja ich meine halt, wenn ich eine Funktion und ein Skalarprodukt definiert habe, wie ich dann eine ONB bestimmen soll, tut mir Leid falls ich mich unklar ausdrücke. :c

Kommentar von Roach5 ,

Ah ok. Also was eine Orthonormalbasis ist:

Ich hoffe du weißt was ein Vektorraum ist. Falls nicht, zur Wiederholung: Ein K-Vektorraum ist eine abelsche Gruppe (V,+) auf der ein Körper K wirkt, sodass k(v + v') = kv + kv' und (k + k')v = kv k'v.

Ein Vektorraum besitzt immer "eine" Basis (im Normalfall mehrere), das ist eine Menge {b1, b2, ...}, sodass jedes Objekt v des Vektorraums sich auf genau eine Weise schreiben lässt als:

v = k1b1 + k2b2 + ...

Jetzt betrachten wir R- bzw. C-Vektorräume und definieren ein Skalarprodukt. Das ist eine Bilinearform < - , - > mit besonderen Eigenschaften, die kannst du alle auf Wikipedia nachschlagen.

Das wichtige ist, dass wir durch das Skalarprodukt automatisch eine Norm für den Vektorraum bekommen, quasi eine "Betragsfunktion",

Nämlich |v| := √(<v,v>), also die Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst.

Jetzt haben wir alles nötige, und können ein bisschen Rumdefinieren.

Aus dem Fall R³, den man aus der Schule kennt, können wir durch das Skalarprodukt Winkel definieren, und sagen, dass zwei Vektoren  v, v' orthogonal zueinander sind, wenn <v,v'> = 1.

Ebenfalls aus dem Fall R³ nennt man einen Vektor "normal", wenn er Betrag 1 hat. Aus unserer Norm können wir dasselbe machen, und nennen einen Vektor normal, wenn <v,v> = 1.

Eine Orthonormalbasis (ONB) ist eine Basis, in der alle Vektoren zueinander orthogonal und normal sind. Das bedeutet, dass für b, b' verschieden gilt: <b,b'> = 0 und <b,b> = 1.

Diese Basis kannst du dir vorstellen wie die Einheitsbasis des R³, das Koordinatenkreuz, irgendwo in einen beliebigen Vektorraum hingelegt. Tatsächlich ist es genau dieser Vorgang, denn mit einer Orthonormalbasis kannst du in den R^n gehen, dort Geometrie betreiben, und zurück in deinen Vektorraum gehen, ohne geometrische Beziehungen zu zerstören (was beliebige Isomorphismen manchmal machen).

LG

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