Frage von P1221, 20

Wie bestimme ich Funktionsgleichungen von Parabeln?

Antwort
von fjf100, 2

Bildungsgesetzt y= (x - x1) * (x -x2) * a ergibt allgemeine Form

y= a2 *x^2 + a1 *x +ao ( hier sind x1 u. x2 die Nullstellen und a der Fakror mit den das Ganze multipliziert wird.

Scheitelpunktform y= a2 * (x +b)^2 + c

b und c sind die Scheitelkoordinaten b mit umgekehrten Vorzeichen !!

c>0 Parabel nach oben verschoben

c< 0 nach unten verschoben

a2> 0 Nach oben geöffnet

a2<0 nach unten geöffnet

b> 0 nach links verschoben

b<0 nach rechts verschoben

Beispiel y= - 2 *(x  - 3)^2 + 4

Scheitel bei x=3 und y=4

a2=- 2 <0 Parabel nach unten geöffnet

Dei Funktion stellt man anhand der Daten von der Aufgabe auf.Diese werden dann in die Formel eingesetzt.

Man muss natürlich wissen,wie die Formeln aussehen und was die einzelnen Zahlen bewirken.das schafft man nur mit Übung ..

Antwort
von Mamuschkaa, 20

Kommt darauf an was du hast.
y=ax²+bx+c
du musst a,b und c rausfinden,
also brauchst du 3 Aussagen,
zb a=1,b=2,c=5
meistens hast du aber andere Infos wie zb 3 Punkte durch die die Parabel geht:
(1,1),(2,4),(3,9)
wenn du ableitungen kennen würdest, gäbe es noch möglichkeiten in dem du die Steigung in dem Punkt kennen würdest.

Antwort
von Monsieurdekay, 15

Im Scheitelpunk steckt schon die wesentliche Information:

S(x1/y1)

f(x) = (x-x1)^2+y1

das kannst du ausmultiplizieren (binomische Formel anwenden) und in die Normalform ax^2+bx+c bringen

Kommentar von Monsieurdekay ,

sorry habe den Vorfaktor vergessen.. dafür brauchst du noch mindestens einen Punkt. Am besten eine Nullstelle

Antwort
von Kuehlschrank33, 16

allgemeine Formel:

f(x)=x²

evtl noch f(x)=x²+bx+c

dann wirds komplizierter mit

f(x)=ax²+bx+c

f(x)=(x+d)²+e

das sind die Formeln die ich grad kenne

Antwort
von Jennifer1599, 18

Scheitelpunkt suchen und Steigung berechnen.

sagen wir Steigung m = 2

Und der Scheitelpunkt liegt bei S (3 | 5)

Dann ist f(x) = 2 (x-3)^2 + 5

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathe & Schule, 2

Hi,

Mir fallen mehrere Wege ein...

Weg 1: Scheitelpunkt und weiterer Punkt sind gegeben.

Du nimmst die Scheitelpunktform:

f(x) = a*(x-xs)² +ys

Dabei ist der Scheitelpunkt S(xs|ys). Wenn du also zum Beispiel S(2|4) hättest, wären xs = 2 und ys = 4.

Du setzt diese Werte ein (wir sagen mal, dies sei dein Scheitelpunkt) und hast dann

f(x) = a*(x-2)² +4

= a*(x² -4x +4) +4

= ax² -4ax +4a +4

Nun hast du irgendeinen weiteren Punkt, zum Beispiel

P(1|3).

Nun weißt du deine Form da oben. Den Punkt kannst du nun einfach einsetzen:

3 = a*1² -4a*1 +4a +4

Das löst du nun nach a auf:

3 = a-4a +4a +4

-1 = a

Also ist deine Funktionsgleichung:

f(x) = (-1)*x² -4*(-1)*x +4*(-1) +4 

= -x² +4x

Weg 2: Nullstellen und ein weiterer Punkt sind gegeben

Deine Nullstellen seien x1 = 0 und x2 = 4, der weitere Punkt sei P (3|3).

Wir haben die linearfaktorisierte Form:

f(x) = a*(x-x1)(x-x2)

Wir setzen x1 und x2 ein:

f(x) = a*(x-0)(x-4)

= a*(x² -4x)

Nun kannst wu wieder P einsetzen:

3 = a*(3² -4*3)

3 = -3a

-1 = a

Also haben wir als Funktionsgleichung:

f(x) = -x² +4x

Weg 3: Drei Punkte sind gegeben.

Du bildest dir ein lineares Gleichungssystem. Du kennst ja die allgemeine Form:

f(x) = ax² +bx +c

Wir brauchen also drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Deine Punkte seien:

P(0|0); Q(3|3); R(2|4). 

Nun setzt du je einmal jeden Punkt ein und erhäktst folgendes LGS:

0 = a*0² +b*0 +c

3 = a*3² + b*3 +c

4 = a*2³ +b*2 +c

Nun kann man die erste Gleichung gleich berechnen. c ist dann nämlich Null:

c = 0

Nun kannst du also c in die anderen beiden Gleichungen einsetzen und hast:

3 = 9a +3b

4 = 4a +2b

Nun formen wir Gleichung 1 nach a oder b um, ich nehme b:

3 = 9a +3b

3-9a = 3b

1 -3a = b

Nun kannst du diesen Term für b in die zweite Gleichung einsetzen:

4 = 4a +2*(1-3a)

Das formen wir nach a um:

4 = 4a +2 -6a

4 = -2a +2

2 = -2a

a = -1

Also können wir nun b bestimmen, indem wir a in die nach b umgeformte Gleichung einsetzen:

b = 1-3*(-1) = 1+3 = 4

Also ist unsere Funktionsgleichung:

f(x) = -x² +4x

Weg 4: Bedingungen sind gegeben, aus welchen man mit Hilfe der Differenzialrechnung die Funktion ermitteln muss

Wir sagen, wir haben eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

Bei x = 2 hat die Funktion zweiten Grades eine waagerechte Tangente. Eine Normale, die durch den Punkt P(3|3) geht, hat die Funktionsgleichung n(x) = 1/2x +1,5. 

So, nun können wir Folgendes sagen:

f(x) = ax² + bx +c

f'(x) = 2ax +b

Nun wissen wir noch durch die Angaben:

f'(2) = 0

f(3) = 3

f'(3) = -2 (denn die Tangente ist orthogonal zur Normalen)

Einsetzen und so wieder ein LGS aufstellen:

0 = 2*a*2 +b

3 = a*3² +3b +c

-2 = 2*a*3 +b

Zusammenfassen:

0 = 4a +b

3 = 9a +3b +c

-2 = 6a +b

Nun Gleichung 1 nach b umformen:

b = -4a

Einsetzen in Gleichung 3 für b und nach a auflösen:

6a +(-4a) = -2

2a = -2

a = -1

Nun a in die nach b aufgelöste Gleichung einsetzen:

b = -4*(-1) = 4

Jetzt kann man a und b in die zweite Gleichung einsetzen und c ermitteln:

3 = 9*(-1) + 3*(4) +c

3 = -9+12 +c

0 = c

Unsere Gleichung lautet also:

f(x) = -x² +4x

Das waren die Wege, die ich kenne. Vielleicht hat es dir geholfen. Die Funktion und die dazugehörigen Aufgaben habe ich mir (je nach Weg) selbst ausgedacht, also entschuldige bitte eventuelle Fehler (die dann der Flühtigkeit halber vorkamen und gerne korrigiert werden können)!

Ich hoffe, dass ich helfen konnte, bei Fragen melde dich gern :)

LG ShD

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