Frage von kathikathii, 98

Wie bestimme ich einen Grenzwert durch eine Termumformung?

Hallo :) könnte mir vielleicht jemand die obrige Frage beantworten? ich verstehe in Mathe (10.Klasse) gerade gar nichts und es würde wirklich hilfreich für die LP s sein, alles zu verstehen.. Danke euch schonmal :)

Antwort
von PhotonX, 98

Hast du vielleicht ein Beispiel, an dem man es vorführen könnte?

Kommentar von kathikathii ,

ich weiß nicht genau wie man das schreibt, aber kannst du damit was anfangen: lim x -> 4  x^2 - 16 / x - 4

Kommentar von PhotonX ,

Ah, so etwas meinst du! Lass uns erstmal ein anderes Beispiel hernehmen:

lim_{x->4} 2x+1

Das lässt sich sehr leicht ausrechnen, indem man x=4 einfach einsetzt:

lim_{x->4} 2x+1 = 2*4+1=9

Wie sieht es nun mit deinem Beispiel

lim_{x->4}  (x^2 - 16) / (x - 4)

aus? Direktes Einsetzen klappt hier nicht, denn dann bekommen wir:

(4^2-16)/(4-4) = 0/0

Null durch Null ist unbestimmt, klappt also nicht. Damit es trotzdem funktioniert, möchte man versuchen den Nenner zu kürzen:

(x^2-16)/(x-4) = (x+4)(x-4)/(x-4) = x+4

Im ersten Schritt habe ich die dritte binomische Formel verwendet. Nach dem Kürzen klappt auch das Auswerten an der Stelle x=4 und wir bekommen:

lim_{x->4}  (x^2 - 16) / (x - 4) = lim_{x->4} x+4 = 4+4 = 8

Wenn dir noch etwas unklr ist, frag nach!

Kommentar von kathikathii ,

das ist sehr verständlich, danke für deine hilfe. ich habe jedoch noch zwei fragen: 1. was ist wenn da nicht lim x->4 sondern x->"unendlich" steht? und 2. wozu brauche ich den grenzwert? also was bringt mir das in der mathematik..?

Kommentar von PhotonX ,

Zu 1. Das kommt auf den Ausdruck nach dem Grenzwert an. Hast du wieder ein paar Beispiele auf Lager? :)

Zu 2. Wie fast immer in der Mathematik: Zum Rückgeld Ausrechnen an der Kasse braucht man das nicht, aber es ist an sich sehr spannend, wenn man sich dafür interessiert, außerdem braucht man es auch in der Anwendung, zum Beispiel in der Physik, um manche Dinge auszurechnen.

Kommentar von kathikathii ,

jaa hab ein beispiel also: lim x -> "unendlich" (3+2/x) also das stand in meinen unterrichts aufzeichnungen. und zu 2: das kann sein haha also für mic ist es nichts :)

Kommentar von PhotonX ,

Für den Grenzwert lim x -> "unendlich" (3+2/x) müssen wir wissen, dass 1/x für große x gegen Null geht: http://www.sagemath.org/calctut/calctut-pix/onesided05.png Deshalb ist für "x=unendlich" der Teil 2/x gleich Null (du siehst, die Kurve nähert sich immer mehr der x-Achse, wenn man ganz weit nach rechts fährt) und wir bekommen als Grenzwert

lim x -> "unendlich" (3+2/x) = 3

Klar, wenn du sagst, du hast gerade große Schwierigkeiten in Mathe, dann ist es nur natürlich, dass du das alles nicht so spannend findest. Aber vielleicht wird es ja mal besser und du entdeckst in dir etwas Interesse dafür. :)

Kommentar von kathikathii ,

das verstehe ich nicht.. das hatte ich auch schon im unterricht und ich hab kein wort verstanden D:

da hast du wohl recht..vielleicht ändert sich das ja bald ich hab ja noch ein paar jahre :D

Kommentar von PhotonX ,

Wo liegt denn genau das Problem? Darin, dass 1/x auf Null geht, wenn x gegen unendlich geht? Oder darin, dass dann (3+2/x) gegen 3 geht? Oder in beidem? :)

Kommentar von kathikathii ,

eher bei beidem.. was bedeutet "gegen" ?

Kommentar von PhotonX ,

"x läuft gegen 4" heißt "lim_{x->4} Macht es das etwas besser?

Kommentar von kathikathii ,

ich weiß jetzt wie das aussieht wenn man es aufschreibt aber was das bedeutet weiß ich nicht..

Kommentar von PhotonX ,

Lass uns das Beispiel vom Anfang nehmen:lim_{x->4}  (x^2 - 16) / (x - 4)

Ich nehme jetzt x-Werte, die immer näher an 4 sind und schaue, was mein Funktionswert f(x) = (x^2 - 16) / (x - 4) macht.

x=1 => f(x) = (1^2-16)/(1-4) = -15/-3 = 4
x=2 => f(x) = (2^2-16)/(2-4) = -12/-2 = 6
x=3 => f(x) = (3^2-16)/(3-4) = -7/-1 = 7
x=3,9 => f(x) = ...Taschenrechner...= 7,9
x=3,99 => f(x) = ... = 7,99
...

Je näher also x an 4 geht, umso näher geht f(x) an den Grenzwert 8. Das bedeutet es, dass man "x gegen 4" schickt.

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