Frage von Ente73, 42

Wie bestimme ich den Radius r aus R und t (Siehe Skizze)?

Hallo zusammen ich habe folgende Aufgabe:

Zwei Kreise, die sich von aussen berühren, haben die Radien R und r (r ist kleiner als R). Die Berührungspunkte ihrer gemeinsamen Tangente haben die Entfernung t. Bestimmen Sie den Radius r aus R und t.

Siehe die Skizze:

Ich habe herausgefunden dass t^2 und r^2 die Hypothenuse rot geben. Jetzt weiss ich nicht mehr weiter, da das rote Dreieck keinen rechten Wnikel hat... Wie kann ich das rote Dreieck bestimmen nur mit r und R und T? Danke für Eure Hilfe.. Ich sehe es mittlerweile nicht mehr..

lg E.

Antwort
von PWolff, 25

Die Seiten des roten Dreiecks sind bekannt (in Abhängigkeit von R, r, t) - die untere Seite ist die Hypotenuse des von dir genannten Dreiecks, die rechte Seite R, die obere Seite R + r.

Aber ob das weiter führt, ist eine andere Frage.

Was mir noch einfällt, sind Strahlensätze.

Aber am einfachsten ist: Nimm die gemeinsame Tangente als Grundlinie.

Dann verschiebe die Grundlinie nach oben bis du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst. (Das Ergebnis hat mich im ersten Moment ein wenig überrascht.)

Antwort
von anonymx13, 25

Also ich hätte jetzt gesagt, dass es t-R ist. Weil du zwei gleichschenklige Dreiecke gezeichnet hast (also ist die eine Strecke r+R. Und da in deiner Skizze diese strecke genauso lang ist wie t, würde ich einfach t-R rechnen. Ich bin mir aber nicht wirklich sicher ob ich die kleinen Skizzen am Rand richtig verstanden habe

Antwort
von Willy1729, 13

Hallo,

ich lade Dir eine Skizze hoch.

Außentangenten werden so konstruiert, daß man um den Mittelpunkt des größeren Kreises Mk einen Kreis mit dem Radius R-r schlägt. 

Dann zieht man eine Verbindungslinie Mg - Mk (R+r, braun), konstruiert um den Mittelpunkt dieser Strecke einen Thaleskreis (hier nicht eingezeichnet) und verbindet den Mittelpunkt Mk mit dem Schnittpunkt dieses Thaleskreises mit dem Hilfskreis K(Mg;R-r) -  in der Zeichnung: S - der hellblau eingezeichnet ist. Diese Strecke entspricht t, denn sie ist eine gleich lange Parallele dazu. In der Zeichnung ist sie t* und rot eingezeichnet.

Nun hast Du das rechtwinklige Dreieck Mk-S-Mg, in dem t* und damit auch t nach dem Pythagoras √((R+r)²-(R-r)²),
also √(R²+2Rr+r²-R²+2Rr-r²)=
√(4Rr)=2√(R*r) ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo,

Du kannst die Gleichung natürlich auch nach r umstellen:

t=2√(R*r)
t²=4*R*r
r=t²/(4R)

Willy

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