Frage von Lia933, 71

Wie berechnet man den Anstieg einer Funktion mit mehreren Veränderlichen?

Hey Leute, ich bräuchte mal eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x sin(y).

Bestimmen Sie den Anstieg der Funktion bei x = 1 und y = π in Richtung (3,4) mittels des Gradienten.

Was ist denn der Gradient und wie bestimm ich diesen?? hab leider echt keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll :(

Antwort
von kepfIe, 46

Der Gradient ist der Vektor der aus den beiden ersten Ableitungen (nach x und y) besteht.  

grad f(x,y) = (sin(y), x * cos(y))  

grad f(1, pi) = (0, 1)  

r = (3, 4), Normieren: r/|r| = (3/5, 4/5)  

Der Anstieg der Funktion in (1, pi) in Richtung (3, 4) ist jetzt das Skalarprodukt aus dem Punkt und dem normierten Vektor:  

<(0, 1), (3/5, 4/5)> = 0 * 3/5 + 1 * 4/5 = 4/5

Kommentar von Lia933 ,

Wieso muss ich denn den Vektor normieren?

Kommentar von kepfIe ,

Das ist bei den "ganz normalen" Ableitungen an sich auch so. Eine Steigung von "2" heißt ja, wenn man 1 Einheit nach rechts geht, geht man 2 nach oben. Wenn wir hier nicht normieren würden hätten wir nacher eine Steigung von 5, was "1 nach rechts und 5 nach oben" entspräche, was aber falsch ist. Wir gehn ja nur 4/5 nach oben.  

Gibt bestimmt ne schönere Erklärung dafür, aber so haben wir das in etwa gelernt. 

Kommentar von Lia933 ,

Ok habs verstanden :) danke 

Kommentar von Kaenguruh ,

Hast Du Dich beim Gradienten nicht vertan ? Müßte es nicht Grad f (0,-1) sein anstatt (0,1) ?

Kommentar von kepfIe ,

Verdammt, ja. Du hast recht. Aber an sich ändert sich dann nur ganz am Ende das Vorzeichen (-4/5 statt 4/5)

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