wie berechnet man x + 1/2 = Wurzel von (x mal die Wurzel von ((2x^2 -1)/x^2 + 1/4 -x))?

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2 Antworten

x + 1 / 2 = √(x * √((2 * x ^ 2 - 1) / x ^ 2) + 1 / 4 + x) | ... ^ 2

(x + 1 / 2) ^ 2 = x * √((2 * x ^ 2 - 1) / x ^ 2) + 1 / 4 + x

x ^ 2 + x + 1 / 4 = x * √((2 * x ^ 2 - 1) / x ^ 2) + 1 / 4 + x | - x und - 1 / 4

x ^ 2 = x * √((2 * x ^ 2 - 1) / x ^ 2) | : x

x = √((2 * x ^ 2 - 1) / x ^ 2) | ... ^ 2

x ^ 2 = (2 * x ^ 2 - 1) / x ^ 2 | * x ^ 2

x ^ 4 = 2 * x ^ 2 - 1 | - 2 * x ^ 2 und + 1

x ^ 4 - 2 * x ^ 2 + 1 = 0

Substitution --> z = x ^ 2

z ^ 2 - 2 * z + 1 = 0

pq - Formel anwenden -->


Die pq-Formel wird auf die Form z ^ 2 + p * z + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

z _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -2

q = 1

p / 2 = -1

(p / 2) ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1

z _ 1, 2 = - (-1) ∓ √( 1 – 1 )

z _ 1, 2 = 1 ∓ √(0)

z _ 1 = 1

z _ 2 = 1

Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = ∓ √(z)

Das musst du sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 anwenden.

x _ 1 = - √(1) = -1

x _ 2 = + √(1) = +1

x _ 3 = - √(1) = -1

x _ 4 = + √(1) = +1

Je zwei Lösungen sind jeweils doppelt, deshalb reicht es aus, wenn wir uns an x _ 1 und x _ 2 halten.

Da bei Gleichungen dieser Art "Phantomlösungen" auftreten können, das sind Lösungen die die ursrüngliche Gleichung nicht erfüllen, muss man immer eine Probe machen -->

(-1) + 1 / 2 = √((-1) * √((2 * (-1) ^ 2 - 1) / (-1) ^ 2) + 1 / 4 + (-1))

Das ist falsch, deshalb ist x _ 1 = - 1 keine Lösung.

(+1) + 1 / 2 = √((+1) * √((2 * (+1) ^ 2 - 1) / (+1) ^ 2) + 1 / 4 + (+1))

Das ist richtig, deshalb ist x _ 2 = +1 eine Lösung.

Fazit --> Nur x = +1 ist eine gültige Lösung !

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quadrieren

(x+1/2)² =................

dann -1/4 -x nach links;

dann nochmal quadrieren

( (x+1/2)² - 1/4 - x )² = (2x²-1)/x²

dann mal x²

usw

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